Frações Parciais

Muitas vezes ao trabalharmos com funções podemos nos encontrar operando com razões entre dois polinômios, essas razões podem ser um desafio quando tentamos usar tabelas, como as tabelas de integrais ou tabelas de Laplace, então como podemos tomar uma razão de polinômios quaisquer e usa-los com uma tabela?
Fazemos isso por separar o polinômio em suas frações parciais e então aplicamos os métodos tabelados, mas como fazer essa separação? Considere a seguinte equação:

 

Essa fração possui o numerador e o denominador de mesma ordem, ou seja em ambos os termos temos o mesmo expoente máximo, mas para realizar a separação em frações parciais o termo no numerador deve ser inferior ao termo no denominador, então fazemos a divisão apresentada para retirar x^2 do numerador, isso resulta em:

 

Com isso a expressão já foi simplificada um pouco, mas não está onde gostaríamos ainda, então vamos separar a fração em suas frações parciais, isso  consiste escreve-la na forma:

 

Sendo os denominadores (x+p1) e (x+p2) a forma fatorada do denominador original, e os coeficientes A e B valores a serem encontrados, para essa função a forma separada será:

 

Lembre-se da soma de frações com denominadores diferentes, o numerador de uma é multiplicado pelo denominador da outra, e os denominadores são multiplicados entre si, o que significa:

 

Como os denominadores em ambos os lados da igualdade são iguais, podemos multiplicar os dois lados por (x+5)*(x-8) o que resulta em:

 

Com isso basta substituirmos os valores de x para encontrar os coeficientes A e B, para isso escolhemos um valor que torne o outro coeficiente 0, então escolhendo x = -5 obtemos o valor de A=2/13, e considerando x = 8 obtemos o valor de B = 11/13. Então a expansão em frações parciais será:

 

Mas nem senpre as coisas serão tão simples assim, há duas formas que o cálculo de frações parciais pode complicar bastante:

1. Quando não for possível fatorar completamente o denominador.
2. Quando o denominador possuir fatores repetidos

Vamos analisar cada um desses casos:

Frações parciais sem fatorar completamente o denominador

Tudo que está sendo mostrado aqui, é válido para o conjunto dos números reais, mas equações também podem possuir raízes complexas,  nesse caso não podemos escrever a equação fatorada apenas com o conjunto dos reais. Como no seguinte caso:

 

 Nesse caso podemos notar por observação que 2 é uma raiz da equação, isso porque 2^3 é igual a 8 subtraindo 8 temos 0, então:

 

A equação x^2+2*x+4 possui duas raízes complexas. Então para continuar trabalhando no conjunto dos reais não devemos tentar fatora-la então essa equação será um dos denominadores, mas ao separar em frações parciais o numerador deve ser um grau abaixo do denominador, então um denominador de 1 ordem, terá um numerador constante, um denominador de 2 ordem terá um numerador de 1 ordem.

  

Novamente multiplicamos o numerador de uma pelo denominador da outra e vamos considerar apenas os numeradores:

 Então escolhemos valores de x que isolam os coeficientes A, B e C, se escolhermos x = 2 teremos que A  = 84/12 = 7.

Se escolhermos x = 0 teremos que C = 4.  Como já conhecemos os valores de A e C podemos escolher um x qualquer para encontrar o valor de B, se x =1 teremos B = 3. A expansão em frações parciais será então:

 

 

Denominador com fatores repetidos

 Esse tipo de situação ocorre quando no denominador da função original o polinômio resulta em duas ou mais raizes iguais, por exemplo no caso:

 

nesse caso a forma fatorada seria:

 

Para expandir isso em frações parciais nós repetimos o termo que está elevado à algum expoente desde o expoente 1 até o expoente na fração original:

 

Aplicamos a regra de soma de frações com denominadores diferentes para obter:

 

Multiplicamos os dois lados da igualdade por (x-1)*(x-2)^2

 

E substituímos os valores de x para obter A, B e C. 

considerando x=1 obtemos que A = 2, se x=2 teremos que C=1. Como já conhecemos A e C substituindo x por um valor qualquer podemos encontrar B, então se x=0, B = 4, substituindo nas frações parciais: