Fazemos isso por separar o polinômio em suas frações parciais e então aplicamos os métodos tabelados, mas como fazer essa separação? Considere a seguinte equação:
Essa fração possui o numerador e o denominador de mesma ordem, ou seja em ambos os termos temos o mesmo expoente máximo, mas para realizar a separação em frações parciais o termo no numerador deve ser inferior ao termo no denominador, então fazemos a divisão apresentada para retirar x^2 do numerador, isso resulta em:
Com isso a expressão já foi simplificada um pouco, mas não está onde gostaríamos ainda, então vamos separar a fração em suas frações parciais, isso consiste escreve-la na forma:
Sendo os denominadores (x+p1) e (x+p2) a forma fatorada do denominador original, e os coeficientes A e B valores a serem encontrados, para essa função a forma separada será:
Lembre-se da soma de frações com denominadores diferentes, o numerador de uma é multiplicado pelo denominador da outra, e os denominadores são multiplicados entre si, o que significa:
Como os denominadores em ambos os lados da igualdade são iguais, podemos multiplicar os dois lados por (x+5)*(x-8) o que resulta em:
Com isso basta substituirmos os valores de x para encontrar os coeficientes A e B, para isso escolhemos um valor que torne o outro coeficiente 0, então escolhendo x = -5 obtemos o valor de A=2/13, e considerando x = 8 obtemos o valor de B = 11/13. Então a expansão em frações parciais será:
Mas nem senpre as coisas serão tão simples assim, há duas formas que o cálculo de frações parciais pode complicar bastante:
- Quando não for possível fatorar completamente o denominador.
- Quando o denominador possuir fatores repetidos
Frações parciais sem fatorar completamente o denominador
Tudo que está sendo mostrado aqui, é válido para o conjunto dos números reais, mas equações também podem possuir raízes complexas, nesse caso não podemos escrever a equação fatorada apenas com o conjunto dos reais. Como no seguinte caso:
Nesse caso podemos notar por observação que 2 é uma raiz da equação, isso porque 2^3 é igual a 8 subtraindo 8 temos 0, então:
A equação x^2+2*x+4 possui duas raízes complexas. Então para continuar trabalhando no conjunto dos reais não devemos tentar fatora-la então essa equação será um dos denominadores, mas ao separar em frações parciais o numerador deve ser um grau abaixo do denominador, então um denominador de 1 ordem, terá um numerador constante, um denominador de 2 ordem terá um numerador de 1 ordem.
Novamente multiplicamos o numerador de uma pelo denominador da outra e vamos considerar apenas os numeradores:
Então escolhemos valores de x que isolam os coeficientes A, B e C, se escolhermos x = 2 teremos que A = 84/12 = 7.
Se escolhermos x = 0 teremos que C = 4. Como já conhecemos os valores de A e C podemos escolher um x qualquer para encontrar o valor de B, se x =1 teremos B = 3. A expansão em frações parciais será então:
Denominador com fatores repetidos
Esse tipo de situação ocorre quando no denominador da função original o polinômio resulta em duas ou mais raizes iguais, por exemplo no caso:
nesse caso a forma fatorada seria:
Para expandir isso em frações parciais nós repetimos o termo que está elevado à algum expoente desde o expoente 1 até o expoente na fração original:
Aplicamos a regra de soma de frações com denominadores diferentes para obter:
Multiplicamos os dois lados da igualdade por (x-1)*(x-2)^2
E substituímos os valores de x para obter A, B e C.
considerando x=1 obtemos que A = 2, se x=2 teremos que C=1. Como já conhecemos A e C substituindo x por um valor qualquer podemos encontrar B, então se x=0, B = 4, substituindo nas frações parciais:
