Modelagem de sistemas térmicos

 Como último exemplo de sistema a ser modelado, vamos ver sobre os sistemas térmicos, neles queremos descrever a relação entre uma temperatura e uma entrada de energia, sistemas desse tipo são ilustrados da seguinte maneira:

Nesse desenho a parte hachurara representa um isolante térmico perfeito, que não permite a condução de calor entre os dois lados, mas isso é só uma suposição, na prática não existe um material que bloqueie completamente a passagem de calor. A seta com a indicação q representa o fluxo de energia térmica de um corpo mais quente para um mais frio:

 

O corpo com a indicação Rt representa uma resistência térmica, que irá consumir parte do fluxo que passa pelo corpo, e o corpo Ct é uma capacitância térmica, da mesma forma das outras capacitâncias que vimos nos outros tipos de sistemas, ela vai acumular calor a partir do fluxo q, na prática todos os corpos atuam simultaneamente como resistências e capacitâncias térmicas, se uma panela está com comida no fogão, a fonte de calor é a chama e queremos esquentar a comida dentro, então a panela é apenas uma resistência térmica, mas depois de retirarmos do fogo, e tirarmos a comida pronta de dentro, a panela continua quente por um tempo, isso porque ela está se comportando como uma capacitância, no mundo real os corpos se comportam com essas duas atuações, mas para modelar isso tornaria o sistema muito complexo, então assumimos que um corpo pode ser apenas um resistor, ou apenas um capacitor, se desejamos saber qual a temperatura naquele corpo, ou se ele acumular energia o suficiente para atuar como uma fonte de fluxo, caso q seja interrompido, devemos considera-lo como uma capacitância, mas se não precisamos saber a temperatura dele, e ele armazena uma quantidade desprezível de calor então podemos considera-lo como uma resistência.

Então vamos ver sobre a lei que rege sobre esses sistemas, a lei do balanço de energia, essa lei diz que:

 

Energia térmica não pode surgir do nada, ou desaparecer, como podemos ver acima, para existir calor em algo, essa coisa deve receber o calor de uma fonte, ou então converter outro tipo de energia em calor, podemos perceber isso com resistores, quando submetidos à tensão elétrica, eles esquentam.

Agora veja quais as relações seguiremos para cada um dos comportamentos, que vimos, resistência e capacitância:

1) Resistência

A resistência térmica é a capacidade de um corpo a se opor à passagem do fluxo de calor, ele fará isso por consumir parte do fluxo que passa por ele:

 

 

Essa fórmula nos diz qual será a queda de calor sobre a resistência térmica,

Quando consideramos troca de calor por condução, quando os corpos estão em contato, calculamos a resistência com a seguinte fórmula:

2) Capacitância

Isso significa o quanto o corpo pode armazenar energia térmica nele

 

E a capacitância térmica é calculada como o produto da massa pelo calor específico do material.

 

 

Agora vamos ver um exemplo dessa modelagem, com o mesmo esquema que vimos acima:

 

Considerando que a temperatura em Ta é maior que em Tb, queremos conhecer a relação entre elas, para isso usaremos as seguintes relações:

Essas relações são apenas os conhecimentos descritos acima, aplicados no sistema apresentado.

Se substituirmos a equação 1 na  equação 2 teremos:

 

 Agora é só montar a função de transferência:

 

Em todos esses tipo de sistemas que vimos, perceba que a modelagem matemática deles é idêntica, nós seguimos os mesmos passos, mas sistemas mais complexos possuem funções de ordem maior, e mais trabalhosas para se obter, mas depois de conseguir a função de transferência, sistemas de qualquer tipo serão semelhantes.

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.

Modelagem de sistemas fluídicos

 Esse outro tipo de sistema serve para analisar montagens em que existe o transporte de fluidos, em sistemas hidráulicos e pneumáticos, e eles são regidos pela Lei de Conservação de Massas, essa lei diz que a matéria não pode surgir do nada, e não pode desaparecer, então o balanço de massa deve ser conservado, Neles vamos querer relacionar o nível do fluido em um tanque, com a entrada dele, ou então a saida de um tanque com a sua entrada, vamos ver então como os componentes desses sistemas se comportam:

Resistência fluidica

 

Essa é análoga à resistência elétrica, essa resistência nos diz o quanto o duto de transporte se opõe à passagem do fluxo Q, e por causa dessa resistência existe uma queda de pressão que é o produto da resistência pelo fluxo.

Embora todo o comprimento do cano tenha resistência fluidica, como uma simplificação, colocamos esse gargalo e dizemos que a resistência do cano inteiro está nesse ponto, depois desconsideramos a resistência do resto do tanque.

 

Capacitância fluidica 

 

Da mesma forma que a resistência é análoga à resistência elétrica, essa é análoga aos capacitores, mas ao invés de acumular carga elétrica, ele acumula liquido, em razão da altura h e da área do tanque A, esse acumulo de liquido por sua vez cria uma pressão que depende da densidade rhô, da altura h e da aceleração da gravidade, na equação 2 vemos a relação entre a variação da altura no tanque e a variação na pressão, mas o que ocorrerá se substituirmos a derivada da altura de 2 na equação 1?

 

Esse termo com a área dividido pela densidade do fluido multiplicada pela gravidade representa a capacitância fluidica do tanque, ela depende da geometria do recipiente e do fluido utilizado.

 

Agora vamos ver um exemplo da modelagem de um sistema desse tipo:

 

 

 

Nesse desenho temos um tanque que recebe uma vazão de entrada de fluido Qi, e possui uma saída com uma determinada resistência Qo, como nesse desenho não consideramos nada depois da saída podemos assumir a pressão externa como 0, então a queda de pressão da resistência será a própria pressão do tanque, então vamos achar a relação entre saída e entrada, primeiro escrevemos todas as relações básicas que usaremos:

A numeração servirá para facilitar a explicação dos passos da modelagem, primeiro vamos substituir as equações 2 e 3 na equação 4: 

 

Depois substituímos essa massa de 4) no diferencial da equação 1)

Então retiramos as constantes de dentro do diferencial:

Essa é a modelagem na forma de E.D.O. agora para levantar a função de transferência, aplicamos laplace e manipulamos o polinômio até obter a função de transferência:

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.