Frações Parciais

Muitas vezes ao trabalharmos com funções podemos nos encontrar operando com razões entre dois polinômios, essas razões podem ser um desafio quando tentamos usar tabelas, como as tabelas de integrais ou tabelas de Laplace, então como podemos tomar uma razão de polinômios quaisquer e usa-los com uma tabela?
Fazemos isso por separar o polinômio em suas frações parciais e então aplicamos os métodos tabelados, mas como fazer essa separação? Considere a seguinte equação:

 

Essa fração possui o numerador e o denominador de mesma ordem, ou seja em ambos os termos temos o mesmo expoente máximo, mas para realizar a separação em frações parciais o termo no numerador deve ser inferior ao termo no denominador, então fazemos a divisão apresentada para retirar x^2 do numerador, isso resulta em:

 

Com isso a expressão já foi simplificada um pouco, mas não está onde gostaríamos ainda, então vamos separar a fração em suas frações parciais, isso  consiste escreve-la na forma:

 

Sendo os denominadores (x+p1) e (x+p2) a forma fatorada do denominador original, e os coeficientes A e B valores a serem encontrados, para essa função a forma separada será:

 

Lembre-se da soma de frações com denominadores diferentes, o numerador de uma é multiplicado pelo denominador da outra, e os denominadores são multiplicados entre si, o que significa:

 

Como os denominadores em ambos os lados da igualdade são iguais, podemos multiplicar os dois lados por (x+5)*(x-8) o que resulta em:

 

Com isso basta substituirmos os valores de x para encontrar os coeficientes A e B, para isso escolhemos um valor que torne o outro coeficiente 0, então escolhendo x = -5 obtemos o valor de A=2/13, e considerando x = 8 obtemos o valor de B = 11/13. Então a expansão em frações parciais será:

 

Mas nem senpre as coisas serão tão simples assim, há duas formas que o cálculo de frações parciais pode complicar bastante:

1. Quando não for possível fatorar completamente o denominador.
2. Quando o denominador possuir fatores repetidos

Vamos analisar cada um desses casos:

Frações parciais sem fatorar completamente o denominador

Tudo que está sendo mostrado aqui, é válido para o conjunto dos números reais, mas equações também podem possuir raízes complexas,  nesse caso não podemos escrever a equação fatorada apenas com o conjunto dos reais. Como no seguinte caso:

 

 Nesse caso podemos notar por observação que 2 é uma raiz da equação, isso porque 2^3 é igual a 8 subtraindo 8 temos 0, então:

 

A equação x^2+2*x+4 possui duas raízes complexas. Então para continuar trabalhando no conjunto dos reais não devemos tentar fatora-la então essa equação será um dos denominadores, mas ao separar em frações parciais o numerador deve ser um grau abaixo do denominador, então um denominador de 1 ordem, terá um numerador constante, um denominador de 2 ordem terá um numerador de 1 ordem.

  

Novamente multiplicamos o numerador de uma pelo denominador da outra e vamos considerar apenas os numeradores:

 Então escolhemos valores de x que isolam os coeficientes A, B e C, se escolhermos x = 2 teremos que A  = 84/12 = 7.

Se escolhermos x = 0 teremos que C = 4.  Como já conhecemos os valores de A e C podemos escolher um x qualquer para encontrar o valor de B, se x =1 teremos B = 3. A expansão em frações parciais será então:

 

 

Denominador com fatores repetidos

 Esse tipo de situação ocorre quando no denominador da função original o polinômio resulta em duas ou mais raizes iguais, por exemplo no caso:

 

nesse caso a forma fatorada seria:

 

Para expandir isso em frações parciais nós repetimos o termo que está elevado à algum expoente desde o expoente 1 até o expoente na fração original:

 

Aplicamos a regra de soma de frações com denominadores diferentes para obter:

 

Multiplicamos os dois lados da igualdade por (x-1)*(x-2)^2

 

E substituímos os valores de x para obter A, B e C. 

considerando x=1 obtemos que A = 2, se x=2 teremos que C=1. Como já conhecemos A e C substituindo x por um valor qualquer podemos encontrar B, então se x=0, B = 4, substituindo nas frações parciais:

Semicondutores

Os dispositivos semicondutores são muito empregados em eletrônica, diodos, transistores e circuitos integrados estão presentes em quase todos os dispositivos elétricos que temos em uso hoje, mas o que é um semicondutor? Como ele é produzido?
Semicondutores são dispositivos que apenas conduzem corrente elétrica sob algumas condições, e se as condições não são atendidas o dispositivo funciona como um circuito aberto, e como eles são produzidos? como se constrói um dispositivo real que impõe condições para realizar uma tarefa?

Tudo começa com uma placa de silício chamada de wafer, essa placa é um mono-cristal sem imperfeições, em situações normais essa placa de silício seria um isolante, mas como fazer esse isolante conduzir eletricidade? O silício pertence à família do carbono, na tabela periódica, na coluna 14, isso significa que assim como o carbono o silício precisa de 4 ligações químicas para atingir estabilidade. Então se esse estado de estabilidade for alterado poderá circular corrente elétrica pelo cristal.
O mono-cristal de silício passa por um processo de dopagem, esse processo consiste em pegar a wafer de silício, sem falhas, e forçar impurezas substitucionais em sua estrutura cristalina, trocando o átomo de silício por outro de material diferente, então se a impureza for de boro haverá um elétron a menos na estrutura, formando uma lacuna e um material do tipo P, se essa impureza for Arsênio ou Boro haverá um elétron a mais, formando um elétron livre, e um material do tipo N. Diferentes tipos de associação desses materiais, P e N, formam uma série de componentes, diodos, transistores e CI´s que são amplamente utilizados, por todo o ramo de eletrônica.

Fonte de matéria:

Aulas de N4CME no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo, com a professora Sara Dereste no período de 07/19 até 12/19.

Compósitos

Compósitos são materiais diferentes, pois são obtidos por usar vários tipos de materiais, metais, cerâmicas, polímeros, de forma misturada, para alcançar propriedades que não poderiam ser obtidas se usássemos apenas um tipo de material, a maioria dos compósitos são constituídos de uma matriz reforçada por outro material, um exemplo desses é o concreto que usamos em construções, nele há areia, que possui uma estrutura cristalina, pó de concreto, que é uma cerâmica, brita, outra cerâmica, e muitas vezes o concreto é reforçado por vigas, metal, esse é um exemplo de compósito facilmente encontrado ao nosso redor que envolve uma matriz e reforço, mas compósitos também podem ser constituídos de outras maneiras veja a seguinte classificação:
Os compósitos podem ser:

• Reforçados por partículas

Nesse caso eles podem ser reforçãdos por partículas grandes ou por dispersão, no caso do concreto já ilustrado, a brita é um reforço por partícula grande, e a areia um reforço por dispersão.

• Reforçados por fibras

Nesses as fibras podem ser, continuas, quando uma fibra atravessa o corpo de ponta a ponta, ou descontinuas, quando no corpo há várias fibras de tamanho menor, essas fibras menores podem estar tanto no mesmo sentido, como dispersas de forma aleatória dentro do corpo.

• Estruturais

Quando o compósito não possui uma matriz com reforço, mas ele possui uma organização dos seus constituintes que promove um melhor desempemho, eles podem ser laminados, como as embalagens tetra park de leite, ou podem ser de forma painéis sanduiche, como os vistos em carros blindados.

As propriedades dos compósitos são dependentes das fases que os formam, além das fases é necessário levar em conta as quaantidades relativas de cada fase, sua geometria .

Fonte de matéria:

Aulas de N4CME no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo, com a professora Sara Dereste no período de 07/19 até 12/19

Polímeros

polímero significa muitos meros, mas o que é méro? Méro é uma unidade básica de uma molécula grande que se repete muitas vezes, então podemos ver um polímero semelhante a como vemos uma corrente, cada mero é um dos elos, e juntos eles podem realizar alguma tarefa. Os polímeros não possuem uma estrutura cristalina, mas podem apresentar algum grau de cristalinidade, ao longo de sua organização amorfa
Os polímeros podem ter diferentes origens, eles podem ser:

• Naturais

È o caso dos carboidratos, proteinas e até do DNA no nosso corpo.

• Sintéticos

São produzidos artificialmente, hoje em dia são muito comuns os polímeros derivados do petróleo

Eles também podem ser classificados quanto as moléculas que os compôem, homopolímeros possuem apenas um tipo de mero, e copolímeros podem possuir dois ou mais tipos.

Classificações quanto à forma em que as moléculas se organizam também são usadas, polímeros lineares crescem apenas em suas pontas, e polímeros ramificados podem ter divisões e uma molécula possui vários ramos, como em um galho de arvore.

E uma última classificação se dá como:

• Polímeros termoplásticos

Possuem cadeias poliméricas longas, são mecanicamente dúcteis, e com o aumento de temperatura eles se fundem, esses polímeros podem ser reciclados. Alguns exemplo desses polímeros são : polietileno, PVC, acrílicos, nylom entre outros.

• Polímeros termofixos

Possuem cadeias cruzadas rigidas, são mais resistentes mas são bem mais frágeis, não sofrem fusão com o aumento da temperatura e não podem ser reciclados. Um exemplo desses polímeros é a resina epóxi.

• Polímeros elastômeros

Esses são capazes de sofrer grandes deformações elásticas, eles se deforman mas voltam à sua forma original, são exemplos desses polímeros as borrachas.

Como são feitos os polímeros?
Existem duas formas dos polímeros se formarem, esses são classificados quando ao processo químico que ocorre, eles são:

• Polimerização por adição:

Nesse processo os meros se agregam às pontas da caia polimérica, os meros se aproximam e já se integram à cadeia.

• Polimerização por sublimação

Nesse processo para um mero se anexar à cadeia polimérica, ela deve liberar um radical, para que seja possível a ligação química, então em uma cadeia é necessário liberar por exemplo, uma molécula de água para que o novo mero possa se conectar.

Fonte de matéria:

Aulas de N4CME no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo, com a professora Sara Dereste no período de 07/19 até 12/19

Cerâmicas

A palavra cerâmica vem do grego keramikos que significa matéria queimada, isso acontece porque, para possuir as propriedades esperadas, a cerâmica deve passar por uma queima, cerâmicas em geral são combinações de metais com oxigênio, nitrogênio, carbono, fósforo e enxofre, os semicondutores também podem compor cerâmicas por assumir o lugar dos metais, mas como esses materiais são confeccionados? O processo todo começa com um pó, ele deve ser compactado para evitar defeitos volumétricos no material, e deve ser moldado para assumir o formato necessário para a tarefa a ser desempenhada, depois de moldada a cerâmica passa por um tratamento térmico chamado de sintetização.
Todo esse processo faz com que as cerâmicas tenham algumas propriedades peculiares, elas são bons isolantes térmicos e elétricos, possuem estruturas cristalinas, ou amorfas dependendo da composição, não possuem região de deformação plástica, depois de uma breve deformação elástica elas já sofrem rompimento, isso é verdade para a maioria das cerâmicas, mas há exceções, e são resistentes à altas temperaturas, as vezes devido a falhas no processo de compactação de pó as cerâmicas podem apresentar certa porosidade, e elas são o grupo de materiais com a maior dureza de todos.
As cerâmicas podem ser agrupadas em dois subgrupos:

• Cerâmicas Tradicionais

São as mais recorrentes no nosso dia-a-dia, o ó usado para elas não passa por um controle de tamanho, sendo geralmente maior do que 1 micrômetro, o que permite que sejam observados com microscópios opticos, geralmente tem origem na natureza e é empregada em vidros, apetrechos de cozinha, entre outros.

•  Cerâmicas avançadas

 São materiais para usos específicos, são sintetizados e tem um controle rigoroso no tamanho dos grãos de pó, menores que 1 micrômetro, por isso os grãos só podem ser observados com microscópios eletrônicos, essas cerâmicas são utilizadas no revestinebto dos onibus espaciais, para produzir ferramentas de corte na indústria, entre outros.

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Aulas de N4CME no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo, com a professora Sara Dereste no período de 07/19 até 12/19

Metais

Os metais são os materiais que possibilitam o estilo de vida que as pessoas levam hoje em dia, isso porque: através de suas propriedades é possível realizar tarefas que não são possíveis com outros materiais, eles também possuem uma boa relação custo-benefício, isso porque os metais podem ser extraídos em inúmeros locais ao redor do globo, mas por qual razão eles se tornaram tão importantes? Isso se deve às suas características que outros tipos de materiais não conseguem realizar tão bem, quais são essas propriedades?

Propriedades dos metais

• Os metais são bons condutores térmicos e elétricos;
•  São materiais organizados em uma estrutura cristalina;
• são condições normais de temperatura e pressão, (1atm, e 300k) são opacos e brilhantes;
• São materiais fortes porém bastante maleáveis;

Algo ser forte e maleável pode parecer uma contradição, mas isso é porque, os metais podem ser moldados com facilidade, mas é necessária muita força para romper a união de seus átomos, por esta razão que é fácil amassar uma lata de refrigerante, mas fazer um buraco nela, sem usar ferramentas é um pouco mais difícil.

Os metais podem ser classificados como sendo:

• Ferrosos: são todos que possuem ferro Fe na sua composição, dentre eles podem ser divididos em:

1. Aços;
2. algumas ligas de ferro: ferro-niquel, ferro-cromo;
3. Ferros fundidos: ferro branco, ferro cinzento, dúctil:

• Não Ferrosos: são os metais que se apresentam sem a presença de ferro, que são:

1. Ligas de cobre
2. ligas de níquel
3. Ligas leve de alumínio
4. Ligas de níquel-cromo
5. Superligas, Hastelloy, que são altamente resistentes à corrosão

Aços

São ligas compostas em sua maior parte de ferro e carbono, mas podem conter outros elementos misturados, os diversos tipos de aços são diferenciados a partir da quantidade de carbono . Ligas de ferro com quantidades de 0,008%→2,11% de carbono são considerados aços, enquanto quantidades maiores de carbono na liga classificaria o material como ferro fundido.

Aços com baixo teor de carbono
São aços que possuem de 0,008%→0,25%
São os aços mais baratos e mais produzidos no mundo, quando passam por tratamento térmico eles não formam martensita, sendo seus microconstituentes a ferrita e a perlita, são materiais fáceis de usinar e soldar e por isso são muito utilizados para a construção de carrocerias de carro.

Aços com médio teor de carbono, São aços com quantidade de carbono entre 0,25%→0,6%, respondem bem a tratamentos térmicos e são mais resistentes porém não possuem boa ductibilidade.

Aços com alto teor de carbono. Aços com quantidades de 0,6%→1,4%, são materiais muito duros, geralmente usados para a confecção de ferramentas, são os aços menos dúcteis, e podem ser combinados com outros elementos para compor ferramentas muito resistentes.

Ferros

Ferro cinzento: São os mais baratos e mais produzidos no mundo possuem em sua constituição alguns materiais que são:
Carbono de 2,5%→4%
Silicio de 1%→3%
Manganês de 0,2%→1%
São materiais com baixo ponto de fusão e fáceis de serem usinados, têm boa reistência mecânica e capacidades de amortecimento

Ferro branco: possui uma coloração mais clara, são de alta dureza e grande resistência, é muito utilizado para processamento de minérios.

Fonte de matéria:

Aulas de N4CME no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo, com a professora Sara Dereste no período de 07/19 até 12/19

Tratamento Térmico

Tratamentos térmicos são processos em que se aquece um material, normalmente um material com estrutura cristalina, como metais, ou cerâmicas, conserva-o nessa temperatura por um tempo, e depois retorna o material à temperatura ambiente, esse processo é realizado por diversos motivos, entre eles:

• Aliviar tensões internas;
• Modificação da dureza do material;
• Modificação da tenacidade do material;
• Melhorar ductibilidade;
• Modificar propriedades elétricas e magnéticas do material;
• Melhorar a resistência sob desgaste do material;
• Melhorar a resistência à corrosão;

Esse tipo de processo possui um tempo de aquecimento, a manutenção da temperatura por algum tempo, e depois um resfriamento em um tempo determinado, alguns fatores que podem influenciar o tratamento térmico são:

• Velocidade de aquecimento;
• Temperatura de aquecimento;
• Tempo que a temperatura é mantida;
• Velocidade do resfriamento;
• Atmosfera onde ocorre o aquecimento;

Mas porque esses fatores influenciam o tratamento veremos um a um:

O tempo:

O tempo do tratamento depende do tamanho da peça e de que tipo de tratamento é desejado, o tamanho influencia porque peças grandes levam mais tempo para serem aquecidas e resfriadas, isso por causa do calor necessário ser relacionado ao calor especifico do corpo multiplicado pela massa do corpo.

A temperatura:

Esse fator é muito importante, porque materiais diferentes exigem temperaturas diferentes para ter sua micro estrutura alterada.

Atmosfera:

Esse fator é importante por causa da solubilidade nos sólidos, uma peça de ferro sendo aquecida em uma atmosfera rica em carbono terá maior numero de carbonos como impureza intersticial nas celas unitarias do ferro, do que um ferro que passe por tratamento térmico sem ter uma atmosfera controlada, aumentando assim sua dureza.

As diferenças entre esses fatores fazem com que os tratamentos diferirem muito um dos outros, eles são:

• Recozimento:

Processo aplicado em metais tem como objetivo aliviar tensões, a recristalização do material para torna=lo mais homogêneo e com menos imperfeições em sua estrutura. Para isso o material deve ser levado até sua temperatura de recristalização, por tempo suficientemente para os átomos se reorganizarem.

• Normalização:

Esse tratamento serve para uniformizar o tamanho dos grãos que compõe o material e uniformiza-los. Esse tratamento promove uma homogeneização melhor que o recozimento.

• Tempêra e revenimento:

Processo aplicado em aços, consiste em aquecer o material até a temperatura de austenização seguido por um resfriamento rápido, geralmente por imergi-lo em água ou óleo, isso promove o endurecimento do aço mas também causa o aparecimento de martensita ma estrutura por isso é aplicado o processo dr revenimento que aquece o aço a cerca de 350° e resfria-lo novamente.

• Esferoidização ou coalescimento:

  Esse é um tratamento aplicado em ações com grande teor de cementita, que torna o aço ruim para a usinagem, então esse tratamento em especifico tenta tornar o aço melhor para usinagem, esse tratamento faz com que a cementita se agrupe em glóbulos, facilitando assim a ação de uma ferramenta de desgaste, e também facilita a deformação a  frio do material

Fonte de matéria:

Aulas de N4CME no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo, com a professora Sara Dereste no período de 07/19 até 12/19