Integrais

A integral é a operação oposta à derivada, podendo as vezes ser chamada de antiderivada para integrais indefinidas, a integral está para a derivada assim como a adição está para a subtração. E pode ser representada da seguinte maneira para integrais indefinidas:

 

nessa resposta C é uma constante real, que é obrigatória para as integrais indefinidas, então ao derivar o resultado obtido teremos novamente x².

Integrais definidas.

as integrais definidas são apresentadas normalmente da seguinte maneira:

 

e elas são usualmente utilizadas para calcular a área limitada por uma função.

 

O problema da área:

Começamos tentando encontrar a área A que está sob a curva y=f(x) de a até b, isto é algo simples de fazer caso a curva f(x) seja uma reta por exemplo f(x) =3 de a= -1 até b=5, nesse caso teremos a área de um quadrilátero que pode ser calculada como A=b*h que ficaria A = 6*3 = 18u.a., mas é um pouco mais difícil para curvas do tipo f(x)= x² ou f(x) = sen(x).
para esses casos podemos fazer um cáculo aproximado através do método da soma de Riemann que consiste em aproximar o valor da área limitada por uma função pela soma de vários retângulos da seguinte maneira:
Dada a função f(x) = x² para calcular a área limitada pela função e pelo eixo x pela soma de riemann entre 0 e 10 por três quadrados com o canto superior esquerdo em contato com f(x) teremos  teremos o seguinte resultado:
mas note que aibda existe um espaço entre o topo dos retângulos e a função então podemos tentar aproximar pelo ponto médio dos retangulos e o canto superior direito isso dará o seguinte resultado:
note que élo pequeno numero de subdivisões os resultados são muito discrepantes entre si então repetindo o procedimento para um numero maior de retângulos teremos uma resposta mais fiel à realidade

 Note que com um número maior de subdivisões a variação entre os valores obtidos é bem menor, então podemos dizer que quando o numero de subdivisões tendar a infinito a soma será prescisa, e esse é o propósito da integral definida, a soma de infinitos subsegmentos sob uma função f(x) para chegar à área limitada pela curva. para isso usaremos o Teorema fundamental do cálculo.

Teorema fundamental do cálculo: 

 O teorema fundamental do calculo nos diz que para una integral fornecida na forma 

 

Então a integral de a até b de f(x) será dada pela antiderivada de b menos a antiderivada de a, nesse caso a constante real C não deve aparecer por se tratar de uma integral com valores definidos.