Produto Vetorial

 Na multiplicação de vetores existem duas subdivisões, multiplicação por um escalar, ou seja a multiplicação de um vetor por um número do conjunto dos reais, ou o produto entre dois vetores, vamos ver ambos:

Multiplicação e divisão de vetor por escalar

Nesse caso teremos uma ênupla, sendo multiplicada  por uma constante C, o que resultará em uma outra ênupla em que cada elemento será o produto de C pelo elemento original daquela posição:

 

A divisão de um vetor por um escalar ocorre da mesma maneira, isso porque já sabemos que dividir por um número é a mesma coisa que multiplicar pela sua inversa:

 

Produto entre vetores

Considerando os vetores genéricos pertencentes ao espaço vetorisl Rn, u e v:

 

Existem três modos para fazer a multiplicação desses vetores:

• Produto Interno ou escalar

  esse tipo de produto é dado por:
   
  Esse produto terá como resultado um número real, e ele também pode ser usado para calcular o ângulo entre dois vetores, isso porque:
   

  

  • Produto vetorial

    Esse tipo de produto é diferente do produto interno que resulta em um número real, isso porque o produto de vetorial dado por |u x v| será um vetor e não um número real.
    então o resultado de |u x v| deve satisfazer duas condições:
    1)
     
    2)Ele deve ser ortogonal às suas parcelas, ou seja, considerando que o resultado do produto vetorial seja o vetor w:
     
    mas como determinar o sentido de s? O sentido do vetor resultante S será definido pela regra da mão direita, indo da primeira parcela do produto para a segunda, então a ordem dos fatores ALTERA o produto, a regra da mão direita diz que se colocarmos a mão direita com os dedos abertos sobre o primeiro vetor, os dedos indicador, médio, anelar e mínimo devem fechar em direção ao segundo vetor, com isso o vetor resultante estará no sentido do polegar.
    Isso nos diz as condições do produto vetorial, agora como podemos calcula-lo? Vamos supor o espaço R3 vom a relação de versores, eixo X com o versor i, eixo Y com o versor j e eixo z com o versor k. O produto vetorial de dois vetores nesse espaço será dado por:
     
    A primeira linha da matriz conterá os versores, a segunda receberá as informações do primeiro vetor, e a terceira linha as informações do segundo vetor, ao calcular o determinante da matriz, podemos expressa-lo na forma de equação com versores, ou diretamente na forma vetorial.
    
    

    Propriedades do produto vetorial:

    1)  u x v = -v x u

    2) u x v = 0, se u = 0, ou v = 0, ou se v=C*u sendo que C pertence aos números reais

    3) (u+v) x w = u x w + v x w

     

    Considerando um espaço no R3:

     

    com os versores em preto que são:

    i = (1 ; 0 ; 0)

    j = (0 ; 1 ; 0) 

    k = (0 ; 0 ; 1)

    Com base nesses dados teremos:

    i x j = k        j x i = -k     i x i = 0

    i x k = -j      k x i = j       j x j = 0

    j x k = i       k x j = -i      k x k = 0

    Com esses resultados pode-se escrever qualquer produto vetorial como uma combinação linear (C.L.) dos versores.

    Então se no R3 considerarmos os vetores v = (a , b , c) e u = (d , e , f), o produto vetorial pode ser escrito como:

    

    Aplicando a 3⁰ propriedade:

      

    Sabemos que todos os termos com o mesmo versor serão 0 então:

    

    Aplicando os produtos vetoriais com os versores, que vimos acima teremos

    

    Mas todo esse processo é muito longo para ser realizado então podemos fazer esse cálculo na forma de uma matriz 3x3 na primeira linha teremos os versores, na segunda linha teremos o segundo elemento do produto vetorial e na terceira linha teremos o primeiro elemento do produto vetorial, então considerando novamente os vetores genéricos u e v:

    -    

    Calculando o determinante da matriz cairemos direto na Eq. 1.

    Interessante notar também que o módulo do produto vetorial resulta na área do paralelogramo cujos lados são u e v.
    

    •  Produto misto

      Como vimos do mesmo modo que o módulo do produto vetorial  resulta na área de um paralelogramo, o produto misto retornará o volume do sólido cujas arestas são u, v e w, então o produto misto será calculado como:

       

      Como o primeiro a ser calculado será o produto vetorial a ordem do fatores ALTERA o produto, e como o último a ser calculado é um produto interno, o resultado do produto misto será um número real.