Soma e subtração de vetores

 Assim como no conjunto dos números simples, que estão na forma 25 ou -4,9 , que são denominados números escalares, o conjunto dos vetores também possuem operações matemáticas que podem ser realizadas com eles, mas operações vetoriais possuem um método próprio para serem trabalhadas:

Adição de vetores:

Vamos novamente assumir vetores no R2 u e v, primeiro vamos ver pela forma gráfica:

 

Nesse exemplo o vetor v começa onde termina o vetor u. então aplicamos diretamente a regra do paralelogramo, em que o vetor resultante da soma deles é o vetor que começa na origem do primeiro vetor e vai até o fim do segundo vetor:

S = u+v 

 Essa regra é usada para a soma de todos os vetores, se eles já estão desenhados de maneira que o fim de um coincide com o término do outro, ótimo, mas se eles não estão desenhados dessa maneira amigável, o que é o mais comum de acontecer, podemos redesenhar os vetores dessa maneira, mantendo as devidas proporções, essa é a forma gráfica da soma de vetores, mas e se quisermos saber o valor do vetor S? Vamos então ver a solução analítica

•  Forma analítica 

Para calcular o vetor S poderíamos pensar, faz isso com o teorema de Pitágoras, mas isso só é valido caso os dois vetores sendo somados sejam perpendiculares entre si, vamos então usar uma forma mais abrangente, a lei dos cossenos, essa regra estipula que, assumindo os vetores u e v,vamos usar os módulos dos vetores, e o ângulo θ formado entre eles, esse ângulo será sempre o menor ângulo formado entre os vetores, ou seja ele pode assumir um valor entre 0⁰ e 180⁰, o cálculo será:

 

Note que além da soma dos quadrados, subtraimos o dobro do produto dos módulos dos vetores multiplicados pelo cos(θ) esse cosseno terá valor 0 quando θ=90⁰ ou 270⁰, o que faria a fórmula retornar ao teorema de Pitágoras. Aplicando a lei dos cossenos para o exemplo anterior com u e v teremos primeiro que descobrir o valor do ângulo θ, faremos isso subtraindo as informações que temos de v de 180graus:

 

Com o valor do ângulo aplicamos a lei dos cossenos, substituindo u e v pelos seus módulos.

 

Aqui u.c. significa unidades de comprimento.

 Subtração de vetores

Para calcular a subtração entre vetores seguimos os mesmos passos da adição, mas com o segundo vetor com a direção contrária da original, então se fizéssemos:

S=u-v

Seria o mesmo que fazer a soma dos vetores, mas considerando que v estaria indo do ponto D para o ponto C, Nesse caso o módulo de S seria o mesmo, mas sua direção e sentido seriam diferentes.

 

Soma e Subtração através das ênuplas dos vetores:

 Para realizar os cálculos de soma e subtração vetoriais, sem desenhar os vetores termos que fazer esse procedimentos entre vetores de mesma dimensão, ou seja ênuplas com a mesma quantidade de elementos: então realizamos a soma e subtração termo a termo, isso pode ser visualizado mais facilmente se considerarmos o vetor na forma de coluna, então com a=(1; 4; 2) e b=(6; 3; 7) teremos a soma a+b e a subtração a-b como:

a+b:

 

a-b