Sistemas de coordenadas -- Coordenadas Cartesianas

Esse é o sistema mais usual de coordenadas, ele foi desenvolvido em 1637 pelo matemático francês René Descartes, usualmente ensinado durante o ensino fundamental. Chamadas de  coordenadas cartesianas, ou de coordenadas retangulares, consiste em dois eixos graduados que servem como regra para o espaço em que estão as intersecções desses eixos possuem um ângulo de 90 graus o que faz que os prolongamentos das gradações apresentem a aparência de uma rede retangular.

 

Um exemplo de plano cartesiano, o eixo x. também chamado de eixo das abcissas, é o que está na posição horizontal, ele representará a variável independente de uma função.

E o eixo y, chamado de eixo das ordenadas, está a 90 graus de x na posição vertical, e representará a variável dependente da função.

Nesse exemplo a gradação dos eixos estão de 1 em 1, mas eles podem ser desenhados com a gradação que melhor se adequa a representação esperada: por exemplo no gáfico da exponencial abaixo.

Nesse exemplo não apenas os eixos não são graduados de forma unitária, mas as escalas em que estão graduados também mudam, para ser possível observar um segmento maior da curva. 

Em um sistema cartesiano a localização de pontos é dada por um par ordenado e curvas são dadas por meio de uma função que relacione a variável independente à variável dependente.

 

O ponto A é identificado e escrito com a coordenada x à esquerda, e a coordenada y à direita, ambas entre parênteses,  a função f(x) relaciona a variável independente à direita do sinal de igualdade com a variável dependente à esquerda da igualdade.

Aqui falamos do sistema cartesiano em duas dimensões no plano R2, mas todas as características do sistema se mantém quando consideramos o espaço R3 em que o eixo z é posicionado formando 90 graus com o plano xy.

Força elétrica exercícios

1.Qual o módulo da força elétrica em uma molécula de sal de cozinha sendo que a distancia entre os átomos é de 2,82*10^-10m. Lembrando que o sal de cozinha tem a fórmula NaCl. Qf = 1,6*10^-19C

Por se tratar de uma molécula com ligação simples a carga envolvida será a carga fundamental, 

com sinal positivo no átomo de Na e sinal negativo no átomo de cloro

então a força será calculada por:

essa fora por se tratar de cargas de sinais opostos será atrativa

 2. Qual o módulo da força elétrica que atua entre duas partículas de dimensões desprezíveis sendo que a primeira tem carga Q1 = +50 microCoulomb e Q2 = +15 microCoulomb separadas por uma distância de 20cm

     A força elétriva será calculada da seguinte maneira:

       Fel = (9*10^9 * 0,00005 * 0,000015)/0,2^2 = 168,75N

Por se tratarem de duas particulas de mesmo sinal, a força resultante será repulsiva

Campo elétrico Exercícios

1. Qual a intensidade do campo elétrico que uma partícula com 250mC gera a 10cm de distância de si, considerando que ela está no vácuo?

aplicando a fórmula para campo elétrico E = (k*Q)/d^2
o campo da situação explicada é calculado como
E = (9*10^9 * 0,250) / 0,1^2 = 225 GN/C
a distância foi escrita como 0,1 porque para calcular o campo elétrico devemos usar o sistema internacional de unidades então deveremos usar metros e não centímetros.

Nesse exercício o resultado possui a ordem de grandeza Giga porque foi utilizada uma carga muito alta, em outros exercícios com cargas menores as ordens de grandeza serão menores também

2.Considerando um corpo de prova localizado na origem do plano cartesiano sendo que existe uma carga Q1 com carga de -125 microCoulomb na posição (2,3) e uma carga Q2 com carga +5 miliCoulomb na posição (-1,4). Qual o valor do campo elétrico na origem do plano?

utilizando o teorema da sobreposição

E = (k*Q1)/d1^2 + (k*Q2)/d2^2 = k*(Q1/d1^2 + Q2/d2^2)

d1 = (2^2+3^2)^0,5 = 3,60

d2 = (-1^2+4^2)^0,5 = 2,23

9*10^9*(125*10^-6/3,6^2 + 5*10^-3/2,23^2) = 9,135 *10^6 N/C

3. Em um sistema no plano cartesiano com 3 cargas, Q1 de +50 nanoCoulomb na posição (1 , 1), Q2 de -800 picocoulomb em ( -2 , 1) e Q3 de -2 nanoCoulomb em (0.5 ; 0.5). Qual a intensidade do campo na origem?

nesse exercício também utilizaremos o teorema da sobreposição e colocaremos k em evidência

E = k*(Q1/d1^2 + Q2/d2^2 + Q3/d3^2)

d1 = (1^2+1^2)^0,5 = 1,4142

d2 = (-2^2+1^2)^0,5 = 2,236

 d3 = (0,5^2+0,5^2)^0,5 = 0,707

= 9*10^9*(50*10^-9/1,4142 + -800*10^-12/2,236 + -2*10^-9/0,707)

E = 289,521 N/C

Eletrostática Exercícios

1. O átomo de hidrogênio possui apenas um próton e um elétron, então sabendo que átomos em seu estado como apresentados na tabela periódica, possuem cerca elétrica zero, Qual a carga de um íon H+? Perceba que a carga de 1 elétron é -1,6*10^-19 Coulombs.

Resposta: Levando em conta a carga de um elétron, E que um íon com carga positiva perdeu elétrons, a carga do íon H+ será de +16 exa coulombs.

2.Uma esfera metálica foi carregada com 32 M elétrons,  qual a carga total da esfera sabendo que ela está isolada e não pode receber ou perder elétrons depois que foi carregada?
qe=-1,6*10^-19 Coulombs

n elétrons*q elétron = Q total

32*10^6 * -1,6*10^-19 = -5,12 * 10^-12 Coulombs

Resposta: A carga da esfera será de -5,12 picoCoulombs

3.uma barra de material isolante de 47cm foi carregada de maneira a ter 8 elétrons extras a cada micrômetro, qual será a carga final dessa barra?
qe=-1,6*10^-19 Coulombs

Quantidade de intervalos = 47*10^-2/10^-6 = 470 000 intervalos

intervalos * 8 elétrons * q elétron = Q total

470 000 * 8 * -1,6*10^-19 = -6,01 *10^-13 C

Resposta: a carga total da barra será de 601 femtoCoulombs

4.Se possuirmos três esferas de material condutor todas de mesmo volume e do mesmo material, sendo que uma delas possui carga elétrica de +0,250 Coulombs, como carregar as outras esferas com carga elétrica de sinal oposto e com metade do módulo?

Resposta: primeiro colocamos as duas esferas que estão sem cargas elétricas em contato, então aproximamos a esfera carregada e aterramos as duas esferas que foram colocadas em contato, então com a esfera carregada ainda próxima retiramos o aterramento, por fim retiramos a esfera carregada de perto e separamos as duas esferas, com isso essas duas esferas terão cargas de sinais opostos e módulo sendo a metade da primeira esfera que estava carregada. 

Tabela de múltiplos e submúltiplos

Muitas vezes quando estiver trabalhando com equações de eletricidade, distâncias e massas, trabalhar na base ordinária de grandezas pode ser bastante complicado, isso por causa da grande quantidade de zeros que operamos nessas áreas, por isso aqui tem uma tabela de múltiplos e submúltiplos que vai ajudar a conversão de grandezas:

 

quando estiver calculando em uma equação será usada a potência de 10 de cada um dos elementos da tabela, mas quando tivermos que colocar o resultado no meio de um texto usaremos o prefixo+ unidade da medida a qual nos referimos.

Integração numérica

Muitas vezes ao trabalharmos com integrais poderemos encontrar uma função que pode ser muito complicada para se resolver analiticamente, isso porque para achar a primitiva F(x) da função f(x), teriamos que realizar integração por partes, substituição e outros métodos, mas se necessitamos usar o resultado da integral, o valor da área sob a função, podemos fazer algumas aproximações numéricas.

Como já foi visto a soma de riemann fornece uma aproximação inicial, mas o problema está em que ao aproximar uma curva por retângulos as formas geométricas não se combinam bem e há muitos erros,

Exemplo das imprecisões da soma de riemann

 então podemos usar as formas de Newton-Cotes.

Essas regras são novamente a aproximação da função por outras funções mas dessa vez não tentaremos encontrar a primitiva F(x) vamos manualmente somar um numero de subintervalos para encontrar a aprocimação do valor da integral que queremos.

Formas de Newton-Cotes:

•Regra dos trapézios

•Regra 1/3 de Simpson

•Regra 3/8 de Simpson

Regra dos trapézios

Esse método consiste em aproximar a função que querenos integrar por vários polinonios de grau 1 que mudam de acordo com o ponto da função em que se está trabalhando.

Esse método gera menos erros do que a soma de riemann usual utilizando constantes mas por ser um método numérico cada trapézio será calculado individualmente e depois serão somados, por isso não podemos aumentar muito o numero de subintervalos porque o procedimento ficaria muito longo então devemos escolher um  número de subintervalos que nos dê uma precisão aceitável e que não resulte em muito trabalho para calcular.

Para calcular a área primeiro teremos que tabelar  a função f(x) em subintervalos com medida h entre eles. Então aplica-se a formula:

Regra 1/3 de Simpsom

Esse método ao inves de aproximar a área por polinomios de grau 1, vai aproximar por polinomios de grau 2, parábolas, então cada subintervalo será uma parabola e elas serão somadas

Cada subintervalo deverá ter 3 pontos tabelados os dois externos e um no meio do subintervalo, então 

 Fonte:
Aulas de T2CNU no instituto federal de São Paulo IFSP no período de 01/2019 até 07/2019

Método dos minimos quadrados

O ajuste de curvas consiste em verificar uma curva que melhor se aproxima dos pontos de um diagrama de dispersão, isso se faz através do método dos minimos quadrados.

O objetivo é determinar a equação da curva que melhor se aproxima dos pontos coletados.

Aproximação por uma reta:

Se após analisarnos o diagrama de dispersão, julgarmos que a função se aproxima mais de uma reta devemos aproxima-la pela função:

r(x) = ax + b

E devemos encontrar os coeficientes a e b, fazemos essa por completar a tabela:

 

Então com os dados dessa tabela devemos solucionar o sistema linear:

Esse sistema nos dará os valores de a e b para a equação da reta mostrada anteriormente.

Aproximação por uma função não linear:

Em outros casos o diagrama de dispersão não poderá ser aproximado por uma reta e deverá ser aproximado pela inversa de uma exponencial. Para isso deveremos encontrar a função:

 

Para encontrar essa função primeiro preenchemos a tabela:

 

E com o resultado dessa tabela obteremos o sistema:

Resolvendo esse sistema, obteremos os coeficientes a1 e a2 para calcular os valores de alfa pela seguinte relação:

Fonte:
Aulas de T2CNU no instituto federal de São Paulo IFSP no período de 01/2019 até 07/2019