Socorro para P2: Integração numérica

Muitas vezes ao trabalharmos com integrais poderemos encontrar uma função que pode ser muito complicada para se resolver analiticamente, isso porque para achar a primitiva F(x) da função f(x), teriamos que realizar integração por partes, substituição e outros métodos, mas se necessitamos usar o resultado da integral, o valor da área sob a função, podemos fazer algumas aproximações numéricas.

Como já foi visto a soma de riemann fornece uma aproximação inicial, mas o problema está em que ao aproximar uma curva por retângulos as formas geométricas não se combinam bem e há muitos erros,

Exemplo das imprecisões da soma de riemann

então podemos usar as formas de Newton-Cotes.

Essas regras são novamente a aproximação da função por outras funções mas dessa vez não tentaremos encontrar a primitiva F(x) vamos manualmente somar um numero de subintervalos para encontrar a aprocimação do valor da integral que queremos.

Formas de Newton-Cotes:

•Regra dos trapézios

•Regra 1/3 de Simpson

•Regra 3/8 de Simpson

Regra dos trapézios

Esse método consiste em aproximar a função que querenos integrar por vários polinonios de grau 1 que mudam de acordo com o ponto da função em que se está trabalhando.

Esse método gera menos erros do que a soma de riemann usual utilizando constantes mas por ser um método numérico cada trapézio será calculado individualmente e depois serão somados, por isso não podemos aumentar muito o numero de subintervalos porque o procedimento ficaria muito longo então devemos escolher um número de subintervalos que nos dê uma precisão aceitável e que não resulte em muito trabalho para calcular.

Para calcular a área primeiro teremos que tabelar a função f(x) em subintervalos com medida h entre eles. Então aplica-se a formula:

Regra 1/3 de Simpsom

Esse método ao inves de aproximar a área por polinomios de grau 1, vai aproximar por polinomios de grau 2, parábolas, então cada subintervalo será uma parabola e elas serão somadas