Interpolação Polinimial - Forma de Lagrange

A idéia da interpolação é aproximar uma função de variável real por outras funções "mais simples" de serem trabalhadas,
Uma função nos dará um gráfico, ou uma tabela contendo seus valores:

 

Considere uma função f(x) definida em x1,x2,x3....xn+1 pontos distintos em um intervalo [a,b] definidos por 

 

Interpolar essa função f no intervalo [a,b], significa aproximar essa função por um polinômio p(x) que coincida em todos os pontos do intervalo com a função f. será que esse polinômio existe? E se existir ele é único?

Interpolação polinomial -- Método de Lagrange

O métoso de Lagrange serve para interpolar dados tabelados por uma função polinomial. Lembrando que tendo n pontos tabelados a função será de grau (n-1) então com dois pontos teremos uma função de 1 grau. com tres pontos uma função de 2 grau e assim por diante.
Considerando a tabela:

 

Considerando essa tabela o polinômio de Lagrange terá a forma:

 

Para determinar a função polinomial teremos que encontrar os multiplicadores L0, L1 e L2.....  Nesse polinômio eles serão calculados por:

 

 

 

Então no numerador teremos o produto de todos os (x-x1)*(x-x2) e no denominador teremos o produto de todos (x0-x1)*(x0-´x2).

Desse modo teremos que o numerador será o produto de todos os  (x-xn) sendo x a incógnita e xn todos os x com índice deferente de L, e no denominador será o produto de todos os (xk-xn) sendo xk o x com o mesmo índice de L e xn os valores de x com índice diferente de L. Apkicando essas fórmulas na tabela de exemplo teremos:

 

Com esses valores calculados o polinômio interpolador será:

 

Com esse polinômio teremos uma aproximação para qualquer valor de x no intervalo [-1,2] 

Fonte:
Aulas de T2CNU no instituto federal de São Paulo IFSP no período de 01/2019 até 07/2019