Zeros de funções reais parte 2

Método das aproximações sucessivas (Método do ponto fixo)
Uma das limitações do método da bissecção é não conseguir localizar raizes em que não há troca de sinal,
Então a idéia desse método é: seja x uma raiz isolada no intervalo [a,b] e f(x)=0 temos que encontrar uma função phi tal que x seja um ponto fixo dessa função, ou seja phi(x) = x.
Portanto o problema de se encontrar uma raiz de uma função é agora encontrar o ponto fixo de phi.
Construímos a função phi através de manipulações algébricas da função inicial.
Se x é um zero de f então x é um ponto fixo de phi e assim o método iterativo para a obtenção das aproximações para a raiz é:

Critérios de convergência
Seja x uma raiz da equação f(x) = , isolada em um intervalo I = [a,b] e phi(x) uma função de iteração para f(x) se:
1) phi(x) e phi´(x) são continuas em I
2) a raiz x pertença ao intervalo I

Método de Newton-Raphson (método das tangentes)

No método do ponto fixo precisamos encontrar a função phi que garanta os critérios de convergência, O método de Newton-Raphson fornece a melhor função phi que garante o método das aproximações sucessivas, então seja f continuo em [a,b], a função que determina phi é dada por:

E o processo iterativo será:

Esse método é chamado de método das tangentes porque ele e determinado pelo ponto que a tangente do ponto xk intersecta com o eixo x.

Critérios de convergência:

Seja o intervalo [a,b] 

1) f(a)*f(b)<0

2)f´(x) deve ser diferente de zero em todo o intervalo

3) f´(x) não pode trocar de sinal dentro do intervalo

Fonte:
Aulas de T2CNU no instituto federal de São Paulo IFSP no período de 01/2019 até 07/2019