Tipos de Sistemas Lineares

Sistemas Lineares dos tipos 2x2 e 3x3, representam respectivamente, como já demonstramos, retas e planos, por isso eles possuem algumas características geométricas quando são representados em um gráfico.
Essas características são dependentes de se no sistema linear uma das equações é proporcional a outra ou se uma das equações seja uma combinação linear das demais por exemplo no sistema linear formado pelas equações:

Sistemas lineares 2 equações x 2 incógnitas

Esses sistemas podem ser classificados como sendo:

Sistema Possível Determinado
quando o sistema 2x2 é representado por duas retas que se encontram em um único ponto, nesse caso a solução do sistema será S = (x,y) sendo estas as coordenadas em que as retas se encontram.

Sistema Possível Indeterminado
quando o sistema 2x2  é representado por duas retas coincidentes, nesse caso embora exista um encontro das retas a solução seria todo o conjunto de pontos que forma a reta não sendo possível determinar um único ponto. Então a resposta do sistema será S = r1 ou r2

Sistema Impossível
esse caso ocorre quando o sistema resulta em retas paralelas, isso acontece quando uma equação é proporcional à outra mas o resultado não é, da seguinte maneira:
x + y = 1
2x + 2y = 3

caso tentássemos escalonar essa matriz de coeficientes por multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da segunda teríamos
x + y = 1
 0x + 0y = 1
por isso esse caso não possui uma solução pois não existe um ponto (x,y) em que as retas se encontrem.

 Sistemas lineares 2 equações x 3 incógnitas

Esse sistema embora não tenha uma solução, devido ao numero de equações ser menor que o numero de incógnitas, ele possui algumas representações geométricas elas podem ser:

2 planos secantes
Esse tipo de sistema ocorre quando as equações não são proporcionais entre si nesse caso as linhas da matriz expandida também não serão proporcionais

 

2 planos coincidentes

Nesse caso o sistema deve ter as linhas da matriz expandida proporcionais entre si

 

2 planos paralelos

Isso ocorre quando as linhas da matriz de coeficientes são proporcionais mas os membros do vetor das constantes não são

                                          

 Sistemas lineares  3 equações x 3 incógnitas

 Esses sistemas serão representados por uma associação de planos que se encaixarão em um dos casos a seguir

1 Caso - 3 planos coincidentes

Isso ocorrerá quando as linhas da matriz expandida forem todas proporcionais

 

2 Caso - 3 planos paralelos

Esse ocorre quando as linhas da matriz dos coeficientes são proporcionais mas as linhas da matriz expandida não são

 

 3 Caso - 2 planos paralelos e um secante

Isso acontece quando a matriz dos coeficientes tem duas linhas proporcionais entre si e uma terceira independente, mas as matriz expandida não possui nenhuma proporcionalidade

                                         

4 Caso - 2 planos coincidentes e 1 secante

Esses casos ocorrem quando a matriz expandida tem duas linhas proporcionais e uma terceira que não é proporcional às outras  

     

 5 caso - 2 planos coincidentes e um paralelo

 Este caso acontece quando todas as linhas da matriz dos coeficientes são proporcionais mas alguma das linhas da matriz expandida não  é

 

6 Caso - três planos com apenas uma reta em comum

no caso do encontro dos planos se der em uma linha o sistema terá solução vazia pois não é possivel determinar uma única solução 

7 Caso- três planos que não possuem um ponto comum aos três

Esse tipo de sistema também terá solução vazia

8 Caso - 3 planos que se encontram em um único ponto

Nessa situação será possivel determinar um único ponto (x, y, z) em que os planos terão contato entre si então essa será a solução do sistema 

    

Fonte:

Aulas de T2CNU e N2ALN  no Instituto Federal de São Paulo, IFSP,  no período de 01/2019 até 07/2019