Relações de sub-espaços vetoriais

Seja V um espaço vetorial e S1 e S2 sub-espaços vetoriais contidos dentro de V como exemplificado na figura abaixo:

 

Nesse primeiro caso apresentado S1 e S2 são espaços completamente independentes entre si, isso porque não existe um elemento que pertença a V que esteja contido tanto por S1 como por S2 simultaneamente.Mas na situação seguinte:

Intersecção de sub-espaços vetoriais

 

O ponto P que pertence a V está contido em ambos os sub-espaços vetoriais S1 e S2 simultaneamente então podemos dizer que:

 

Isso significa que: P pertence a V, S1 pertence a V, S2 pertence a V e P pertence a intersecção de S1 com S2 

Teorema sobre a intersecção de subespaços vetoriais:

• O espaço gerado pela intersecção de dois sub-espaços vetoriais também é um subespaço vetorial

 Soma de sub-espaços vetoriais

Seja novamente considerada a primeira situação:

 

 A soma dos sub-espaços S1 e S2 descrita por:

 

 É o conjunto de todos os elementos que estão contidos em S1 e em S2

• O resultado da soma de sub-espaços vetoriais também é um sub-espaço vetorial.

 
Fonte:
Aulas de N2ALN no Instituto Federal de São Paulo, IFSP, no período de 01/19 até 07/19