Zeros de funções reais parte 1

Em uma função real f(x) um zero é o valor de x que faz com que f(x) = 0, em muitas ocasiões teremos que operar com equações que não serão tão simples de se obter os zeros através de métodos algébricos que nos retornariam um valor exato, por isso podemos encontrar o zero de tais funções através de métodos numéricos, esses métodos nos darão como resposta não um valor exato mas um intervalo e o zero estará dentro desse intervalo de números, vale ressaltar que métodos numéricos não tem como resposta aproximações apenas.
Esses métodos são s métodos iterativos, a ideia central deles é, a partir de um chute inicial repete-se o método para refinar o valor do chute inicial, até o intervalo for menor do que um erro tido como aceitável. Para encontrar os zeros o primeiro passo será:

1.Isolamento das raízes
Numericamente não poderemos encontrar a raiz da função simplesmente por igualar a função a zero, devemos fazer uma análise teórica e gráfica da função, essa analise seguirá a seguinte regra:

Teorema de Bolzano
Considerando  

 

Uma função real e continua no intervalo [a,b] no caso do produto de f(a)*f(b) for menor do que 0 então há ao menos um valor de x* que faz com que f(x*) = 0, mas apenas isso não é o suficiente, usaremos também o resultado de f´(x), a derivada da função, no caso dessa derivada mantiver o sinal constante durante o intervalo e o produto de f(a)*f(b) for menor do que zero então nesse caso podemos dizer que há um zero no intervalo estudado.

Utilizando como exemplo a função

 

Por ser um polinômio de grau 3 já sabemos que ele possui no máximo 3 raizes então faremos uma tabela para analizar o sinal e  localizar as raizes.:

 

Nessa tabela estamos apenas interessados no sinal e não no valor especifico da função, por ela já podemos dizer que as raizes da função f(x) se localizam nos intervalos [-5,-3]. [0.1] e [2,3], no caso de funções mais complexas também analizamos a derivada mas nesse caso não foi necessário fazer isso, a partir desse ponto fazemos o refinamento dos nossos intervalos.

Métodos gráficos
Esse método já é um pouco mais intuitivo, primeiro deve-se plotar o gráfico da função f(x) e então poder=a se visualizar o ponto em que a função corta o eixo das abcissas para determinar o intervalo por exemplo considere o gráfico da função: f(x) = x^2-3*x+2, embora saibamos encontrar as raizes dessa função algébricamente, vamos usar métodos numéricos para tentar encontra-las.

 

Com isso podemos dizer que uma das raízes está presente no intervalo x1=[0,5 ; 1,5], e a outra raiz está em x2=  [1,5 ; 2,5]. então a partir dessa aproximação inicial podemos refinar a nossa resposta.

 

2.Refinamento

Nessa fase utilizaremos métodos iterativos para encontrar uma solução aproximada, vamos determinar alguns critérios primeiro para assegurar (ou não) a convergencia, estes critérios serão os nossos critérios de parada.

Critérios de parada
Considerando um erro aceitável denominado por E

1)                                               

   

 Caso a diferença entre o resultado da iteração anterior e a iteração atual seja menor do que o erro adotado então esse critério de parada foi atendido.

2)

 

Caso o valor da função para o resultado da função seja menor que o erro, esse critério de parada também é válido.

3) O número de iterações

Como todos os métodos nos darão apenas aproximações esse critério serve para ter um simples limite de quanto tempo usaremos na procura de cada resultado.

 Método da bissecção

Esse método consiste em dividir o intervalo inicial em dois e verificar onde está a raiz, então por continuar subdividindo em parcelas cada vez menores alcançaremos um resultado aceitavel exemplo considerando a função f(x) = x^2-3*x+2

  

Vamos considerar os intervalos como sendo x1=[0,8 ; 1,5]  e x2=[1,5 ; 2,5], o erro aceitável será de E=0,1 vamos construir os processos de iteração em uma tabela:

Note que as extremidades do intervalo sempre devem ter sinais diferentes  e com o erro admitido poderíamos parar na segunda iteração mas se adotássemos o intervalo como sendo x2=[1,5 ; 2,5]

Nesse caso por coincidência achamos a raiz na primeira iteração então podemos interromper o método aqui.

O  pré requisitos para o uso do método da bissecção é que:

• f(x) seja contínua no intervalo [a, b]
• o produto f(a)*f(b)<0, ou seja deve haver troca de sinal na raiz da função

Fonte:
Aulas de T2CNU no instituto federal de São Paulo IFSP no período de 01/2019 até 07/2019