Métodos Iterativos para a resolução de Sistemas Lineares parte 1

Esses métodos não chegam em m valor determinado eles vão formar soluções do tipo S1, S2, S3... que a cada iteração se aproximam mais do valor de solução do sistemas nunca o valor exato, é um método que permite boas aproximações mas não uma solução definitiva, para aplicar esses métodos serão utilizados alguns critérios de parada que veremos mais adiante.

Método de Gauss-Jacobi (MG-J)

Para esse método vamos transformar as equações do sistema em uma equação de iteração então a partir de um chute inicial vamos obtendo novos valores até os critérios de parada serem satisfeitos.
Então seja o sistema:

 

As equações de iteração são obtidas por se isolar algebricamente a variável desejada em cada equação, as equações de iteração desse sistema terão a seguinte forma :

 Dessas equações podemos tirar que o valor de cada variável calculada  para a nova iteração serão dependentes dos valores da iteração anterior, por isso é necessário ter o chute inicial, quanto mais próximo o chute estiver do resultado melhores serão os resultados das equações de iteração porém nem todo sistema converge para o resultado através do método de Gauss-Jacobi para saber se o sistema converge devemos prestar atenção ao:

Critério das linhas

Esse critério e descrito pela seguinte fórmula:

 

Para o método convergir o valor de alfa deve ser menor do que 1, ou seja a variável que tentamos encontrar em cada equação deve ter o seu multiplicador de módulo igual ou maior aos das outras variáveis, por esse método o sistema utilizado como exemplo não converge;em outros casos em que o critério das linhas não seja satisfeitopodemos trocar duas linhas de lugar para tentar executa-lo.

Critérios de parada

O método de Gauss-Jacobi deve ser repetido até que um dos dois critérios seja satisfeito:

1. O número de iterações atinja determinado patamar;
2. A diferença entre o resultado da iteração atual e o resultado da iteração anteror seja meno do que um erro pré estabelecido E.

Fonte:
Aulas de T2CNU no Instituto Federal de São Paulo IFSP no período de 01/2019 até 07/2019