Métodos diretos para a resolução de sistemas lineares

Os métodos diretos para a resolução de sistemas lineares são todos os métodos ensinados no ensino básico, a regra de Cramer e o método da substituição direta.

Método de Cramer

Esse método consiste em calcular-se n+1 determinantes, sendo n  o numero de linhas do sistema. Esse método de resolução funciona, mas para sistemas maiores do que 2x2 o número de cálculos necessário se torna muito grande por isso essemétodo não é interessante de ser usado para a resolução de sistemas.

Métodos Diretos 

Os métodos diretos são os métodos mais simples para se chegar au resultado exato do sistema de equações

Método da eliminação de Gauss (Método do escalonamento)

Esse método iremos utilizar a matriz expandida do sistema e serão possíveis realizar três operações

1. Trocar duas linhas de lugar;
2. Multiplicar uma linha por um número real diferente de 0;
3. Adicionar uma linha à um múltiplo de outra linha;

Com essas operações a parte da matriz expandida que corresponde à matriz dos coeficientes deverá se tornar uma matriz triangular superior, ou seja abaixo da diagonal principal todos os números deverão ser iguais a 0 então os resultdos serão obtidos na coluna determinada pelo vetor das constantes, da seguinte maneira, para simplificar as contas torne a matriz diagonalmente dominante, ou seja a diagonal principal deve conter os valores com os maiores módulos possíveis, acompanhe o seguinte exemplo:

 

A partir desse sistema vamos escrever a matriz expandida:

 Analisando a a matriz já vemos que ela é diagonalmente dominante entõ não será necessário alterar  a ordem em que as linhas estão escritas agora então para fazer o escalonamento vamos tornar todos os elemento da primeira coluna que estão abaixo do 3 em 0 para isso usaremos a primeira linha que será dividida pelo seu interante da primeira coluna para obtermos 1 e multiplicada pelo primeiro integrante de cada coluna para zerarmos esses membros seguindo as seguinte fórmulas:

 

A substituição das linhas da matriz expandida pelos resultados obtidos nas fórmulas será:

 

Então vamos apenas eliminar o integrante abaixo da diagonal principal na terceira linha faremos isso com a seguinte fórmula 

 

Atualizando novamente  a matriz teremos:

 

então com a matriz triangular superior podemos primeiro descobrir o valor de z por dividir o resultado no vetor das constantes da teerceira linha pelo valor de z na terceira linha.

Depois para o valor de y  substituímos na segunda linha o valor de z obtido fazemos as iversões algébricas e obtemos o valor de y.

Para obter o valr de x fazemos o mesmo procedimento anterior substituindo os valores de y e z.

O resultado desse sistema será: x=1, y=1 e z=1

Fonte:

Aulas de T2CNU  no Instituto Federal de São Paulo, IFSP,  no período de 01/2019 até 07/2019