Sistemas Lineares

sistemas lineares servem como representação de geometrias, se tivermos um sistema de uma equação e uma incógnita teremos a localização de um ponto na reta de números.

 

Um sistema de duas equações e duas incógnitas nos dará duas retas no plano que podem ou não se encontrar:

      

Na imagem temos o exemplo de duas retas concorrentes.

Um sistema de três equações e três incógnitas resultará em um sistema tridimensional composto por três planos:

     
Em todos os casos a solução do sistema linear,  quando existir, será o ponto (x,y) ou (x,y,z) de encontro das retas ou planos, que satisfaz todas as equações do sistema.
Aqui trabalharemos apenas com sistemas 2x2 e 3x3 mas talvez encontremos às vezes sistemas maiores do que 3x3, nesses casos o sistema não terá uma representação gráfica pelo fato de só enxergarmos em 3 dimensões, mas todas as propriedades de sistema que estudamos serão válidas, desde que ele obedeça as seguintes regras:

Regras de um sistema linear

 1.  Para ter solução o sistema deve ter  o numero de linhas  maior ou igual ao numero de incógnitas
 2. Para ser linear o sistema não deve possuir variáveis elevadas à alguma potência ou raiz.

Seguindo essas regras todas as técnicas vistas aqui serão válidas, os sistemas lineares podem ser resolvidos por métodos diretos que chegam à um valor exato, ou métodos indiretos quando é necessária uma aproximação confiável do valor da raiz, e também apenas de observar o sistema é possível fazer algumas observações sobre ele.

os sistemas lineares podem ser representados da seguintes maneira exemplificadas com um sistema 3x3:

a mais usual é da forma:

 

mas também podem ser representados na forma matricial da seguinte maneira:

 

Nessa forma a matriz contendo os índices a é chamada de matriz dos coeficientes, a que contém as incógnitas é o vetor das variáveis e a que contém os resultados b é o vetor das constantes, a representação simultânea da matriz dos coeficientes com o vetor das constantes é chamada de matriz expandida e ela será usada para encontrar as respostas do sistema.

  
Fonte:

Aulas de T2CNU e N2ALN  no Instituto Federal de São Paulo, IFSP,  no período de 01/2019 até 07/2019