Métodos Iterativos para a resolução de Sistemas Lineares parte 2

Além do método de Gauss-Jacobi visto anteriormente na parte 1 (link:  https://socorroparap2.blogspot.com/2020/02/metodos-iterativos-para-resolucao-de.html)  há também outro método, O método de Gauss-Seidel

Método iterativo de Gauss-Seidel (MG-S)

Esse método é muito semelhante ao método anterior de Gauss Jacobi, inclusive utiliza as mesmas equações de iteração, obtidas por se isolar algebricamente a variável de interesse no sistema, a diferença é que para a execução do método as variáveis utilizadas serão sempre as mais atualizadas, então ao invés de utilizar todas as variáveis da iteração anterior em todas as equações, a primeira equação será com os resultados da iteração antiga, a segunda equação será uma da iteração atual e outra da antiga exemplificado do seguinte modo, o sistema linear dado por:

 

Esse sistema terá as seguintes equações de iteração:

 

 Podemos ver que no caso da segunda equação aparecem resultados da iteração anterior e da iteração atual, por isso para o método ser bem realizado é importante que as equações sejam resolvidas na ordem de cima para baixo, assim não haverá o risco de por uma confusão utilizarmos o valor errado para a equação.
Vale notar que por utilizar sempre a variável mais atualizada, o Método de Gauss-Seidel converge para a resposta de maneira mais rápida do que o método de Gauss-Jacobi.

Assim como o método de Gauss-Jacobi dependia do critério das linhas para verificarmos se o sistema converge para a solução ou não, existe um método especifico para verificar a convergência  do método de  Gauss-Seidel para o sistema:

Critério de Sassenfeld

Para o método convergir para o resultado independente do valor do chute inicial é importante não apenas a matriz dos coeficientes ser diagonalmente dominante, mas a soma dos módulos dos outros elementos não pode ser maiores que o módulo do elemento na diagonal principal,veja o exemplo para o sistema teórico abaixo: 

 

A aplicação do critério de sassenfeld resultaria nos seguintes valores:

 

O método de Gauss-Seidel irá convergir para a resposta se todos os valores de beta forem menores do que 1, se algum dos valores de beta for igual ou maior que um o método não irá convergir, quanto menor o valor de beta mais rápido o sistema converge, isto é,  serão necessárias menos iterações para os critérios de parada serem satisfeitos, os critérios de parada desse método são os mesmos já vistos no método de Gauss-Jacobi

Fonte:
Aulas de T2CNU no Instituto Federal de São Paulo IFSP no período de 01/2019 até 07/2019