Equações Diferenciais

Seja y uma função de x, uma equação diferencial é uma equação que envolva y e suas derivadas y´, y´´...... Essa equação diferencial será de ordem n, sendo n o grau da derivada mais alta, então se uma equação possui apenas a primeira derivada ela é de primeira ordem, se possui a primeira e a segunda derivadas é de segunda ordem, e assim por diante.

Classificação das equações diferenciais:

 Equação Diferencial Ordinária (EDO's): envolvem funções de uma única variável.
Equações Diferenciais Parciais (EDP's): envolve as derivadas parciais de uma função de várias variáveis. 

Resolução de Equações Diferenciais 

EDO's de primeira ordem:
Seja uma equação na forma:

   Eq. I

sendo A e B constantes, f(t) uma função conhecida e x(t) a incógnita.

Usaremos o principio da sobreposição,que significa somar duas soluções para encontrar outra.

Provando que o teorema da sobreposição é válido:

Suponha que xp seja solução da Eq. I.

  Eq. i

E suponha que xh seja a solução homogênea. (=0)

  Eq. ii

Com isso o teorema da sobreposição diz que a soma x=(xp+xh) também é solução de I.

Provando o teorema da sobreposição 

Assumindo a equação I:

 

Podemos aplicar o teorema da sobreposição com as equações i e ii para encontrar outra solução?

 

Essa equação é verdadeira?

Vamos primeiro aplica a distributiva nos termos:

 

Então reorganizamos os termos para a seguinte forma:

 

Note que essa equação é a mesma coisa que a soma das equações i e ii, então:

 

Com isso o teorema da sobreposição é válido para a resolução de Equações diferenciais.

Vamos então resolver a EDO:

 

Para essa equação ser calculada as funções x(t) e x'(t) devem ter a mesma forma, sabemos do cálculo de derivadas que a única função que mantém a forma quando derivada é:

 

Primeiro aplicaremos a solução homogênea:

 

O segundo passo vamos dar um palpite para xp(t), e ver onde a álgebra nos leva: para esse exercício vamos dizer que xp(t) é uma constante real:

 

Então a equação ficará:

 

Com xp = A, mas a derivada de uma constante é zero, então teremos:

 

Por meio de operações algébricas podemos dizer:

 

Com esses dois resultados aplicaremos o teorema da sobreposição para obter a solução geral da equação:

 Essa será a solução geral da equação dada em I, para obter a solução particular necessitariamos possuir as condições iniciais, isso será abordado no próximo artigo.