Derivadas Parciais

Sabemos já que a derivada de uma função de uma única variável, mede a sua taxa de variação, o quanto a função irá variar de valor indo em uma ou outra direção, 

Em uma função de uma variável representada em um plano, isso fica bem simples de entender, a derivada resultará na inclinação da reta tangente à um ponto do gráfico, veja abaixo essa explicação:

Nessa figura temos duas funções representadas: a parábola x^2, em verde, e a reta y=2*x-1 , em vermelho, essa reta foi obtida de forma a tangenciar a parábola no ponto x=1, então o termo 2*x obtido com a derivada de x^2, dará a inclinação da reta, e o termo -1 é apenas uma correção para que a reta tangencie no ponto desejado.

Mas e no caso de uma função de várias variáveis, representada no espaço? Como saber a sua taxa de variação? Nesse caso continuaremos usando a derivada da função, mas para funções de várias variáveis a derivada terá uma representação diferente, como temos mais de uma variável que podemos derivar, temos que especificar em qual variável estamos calculando a derivada, e também não podemos usar a letra d, usamos a letra grega minúscula del (δ) como pode ser visto abaixo:

Nessa maneira de escrever na primeira derivada lemos, derivada de g em relação à x e na segunda podemos ler, derivada de g em relação à y, quando derivamos uma função em relação à uma de suas variáveis, a outra variável será tratada como uma constante:

Quando calculamos uma derivada parcial, todas as regras de derivação vistas em: (Derivadas) são válidas.

Derivadas de ordem superior

Em funções de uma variável representávamos as derivadas por marcadores no nome da função, podiam ser aspas simples ou pontos

E da segunda derivada em diante simplesmente aumentávamos o número desses marcadores

Mas lembre-se que, em funções de várias variáveis temos que especificar a variável na qual estamos derivando, então as representações das derivadas superiores serão das seguintes maneiras:

Nessas formas lemos indo no sentido horário, então leremos das seguintes maneiras:

1 derivada: derivada terceira de g, primeiro em relação à z depois y e por fim x

2 derivada: derivada segunda de h, as duas vezes em x

E uma outra representação das derivadas superiores é:

Nesse caso a ordem das derivadas é a mesma em que estão escritas: a derivada terceira de f, primeiro em x, depois em y e por fim z.

Igualdade das derivadas mistas

Se mudarmos a ordem em que calculamos as derivadas parciais de uma função, isso não mudará o resultado, porque:

Não importa em que ordem você realize as parciais, o resultado permanece o mesmo.

Quando calculamos a derivada parcial de uma função de várias variáveis estamos calculando novamente à inclinação da reta tangente à superfície, de maneira paralela ao eixo que reresenta a variável em que estamos derivando.

Aulas de CALC2 no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo, no  período de 02/2020 até 10/2020