Diagramas de Bode

Essa é uma ferramenta básica para a análise de sistemas pela resposta em frequência, criada em 1930 por Hendrik Wade Bode esses diagramas mostram através de dois gráficos a relação de entre magnitude e frequência de entrada, e fase e frequência de entrada, para determinada função de transferência, e esses gráficos são levantados para a função de transferência de malha aberta, veja abaixo um exemplo desse diagrama

Esse diagrama é feito em escala logaritimica para ser capaz de representar uma grande variação de frequencia sem perder muitas informações, o grafico acima foi feito usando a biblioteca control de python, mas você pode escolher outra ferramenta computacional ou traçar uma aproximação manualmente.

Como traçar uma aproximação do diagrama manualmente?

Se estiver fazendo no papel, será necessário utilizar papel monolog, que já vem com a escala logarítmica impressa, no eixo horizontal será a frequência e terá os polos e zeros demarcados e no eixo vertical a magnitude e fase.

No gráfico de magnitude o traçado começa paralelo ao eixo horizontal para baixas frequências, mas a inclinação recebe -20db/década para cada polo que passa e recebe +20db/década para cada zero ultrapassado, se o sistema possuir polos na origem, a inclinação inicial dependera do numero de polos.

No grafico de fase o procedimento é semelhante, cada polo mudará a inclinação em -45db/dec, e cada zero em +45db/dec mas tanto os polos como os zeros só tem influencia uma década antes, e uma depois deles mesmos no gráfico de fase, diferente do gráfico de magnitude onde polos e zeros tem influência deles próprios, em diante.

E quando houver um ganho K influenciando a F.T. ele terá efeito tanto no gráfico de magnitude e de fase, deslocando a curva pelo eixo vertical, a influência desse ganho pode ser calculada como:

Fonte:

Aulas de SISC2 no Instituto Federal de São Paulo, Campûs São Paulo de 05/2021 até 07/2021.

Katsuhiro, Ogata. Engenharia de Controle Moderno.5° edição. São Paulo. Editora Pearson

Análise das Funções de Transferência pela resposta em frequência

 Em Modelagem de Sistemas e Sistemas de Controle 1sempre vimos as funções de transferência como funções de s, a variável de Laplace.

 

Mas para utilizar a análise em frequência, primeiro devemos converter essa função de transferência simplesmente substituindo s por jw.

 

A frequência mais habitual de encontrarmos em controle é radiano por segundos, mas por causa do sistema internacional estamos mais habituados com Hertz, pode ser feita a conversão entre essas duas unidades através da relação:

Depois com essa função de jw. podemos expandi-la em Frações Parciais:

Perceba que depois da expansão os denominadores das frações parciais são números complexos, então podemos aplicar a forma retangular de geometria complexa para calcular a fase da função, assim como sua magnitude 

 

Fonte:

Aulas de SISC2 no Instituto Federal de São Paulo, Campûs São Paulo de 05/2021 até 07/2021.

Katsuhiro, Ogata. Engenharia de Controle Moderno.5° edição. São Paulo. Editora Pearson