Plano S e requisitos de projeto

 Já vimos, quando estudamos a Análise de sistemas de 2 ordem, que o plano S não é usado apenas para verificar a estabilidade do sistema, ele nos mostra também o tipo de resposta que o sistema terá, e agora veremos como podemos usar requisitos de projeto, para determinar a posição ideal dos polos para o sistema.

Primeiro: para sistemas de 1 ordem, que possuem apenas 1 polo, a distância desse polo até o eixo imaginário vai determinar a velocidade do sistema:

Nesses tipos de sistemas, polos mais afastados do  eixo imaginário significam respostas mais rápidas, enquanto sistemas próximos do eixo imaginário são sistemas lentos.

E agora para sistemas de 2° ordem, que vimos que podem possuir sobressinal, além da velocidade de resposta, vamos ver então como determinar qual o polo desejado.

 Em aplicações de sistemas de ordens altas, teremos um requisito que nos diz o quanto a resposta pode ultrapassar o valor de regime inicialmente, e em Análise de sistemas de 2° ordem vimos como calcular essa ultrapassagem a partir de um coeficiente de amortecimento, obtido da função de transferência, aqui faremos o contrário, a partir de um requisito de sobressinal calcularemos qual o coeficiente é necessário para isso.

 

Essa era a formula mais trabalhosa algebricamente, mas depois de encontrar o coeficiente de amortecimento, lembre-se que ele é o cosseno do ângulo beta, que faz com o eixo real, depois só precisamos do valor da frequência natural não amortecida, wn, e já conseguimos encontrar o polo necessário

 

Retorne à análise de sisremas de 2 ordem para verificar todas as relações.

Mas e sistemas de maior ordem o que devemos fazer?

Existe uma propriedade chamada dominância de polos, onde polos que estejam muito distantes da origem podem ser ignorados, e um sistema de maior ordem pode ser analisado como sendo de 1 ou 2 ordem, mas o quão longe eles devem estar? normalmente se houver um polo 10 vezes mais perto da origem, ele se sobressai o suficiente para dominar a resposta. O sistema é mais afetado pelo seu polo mais lento.

Fonte:

Aulas de SISC1 no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo,com o professor Alexandre Brincalepe Campo, no período de 11/2020 até 03/2021

Controlador Proporcional

Um controlador proporcional, ou simplesmente controlador P, é a forma mais básica de controlarmos um sistema de malha fechada, ele consiste em simplesmente aplicar um ganho em um sinal do diagrama de blocos, como pode-se ver abaixo:

 

O controlador proporcional contém um ganho K que será um número real, geralmente positivo.

Se desenvolvermos esse diagrama para obter a função de malha fechada teremos:

 

Aqui obtivemos a função de transferência de malha fechada, em razão do numerador e do denominador da função de transferência da planta em malha aberta.

O controlador proporcional sozinho pode ser utilizado para fazer com que o sistema atenda requisitos de tempo de subida, o quão rápido o sistema reage depois de um sinal de entrada, ou a um requisito de erro em espaço estacionário, porém se houverem requisitos mais rigorosos, ou o tempo de subida e o erro acabem necessitando de ganhos diferentes, o proporcional apenas não será o suficiente para fazer um controle satisfatório, então necessitaremos de um controlador mais complexo.

Fonte:

Curso "Introdução ao Controle de Sistemas" do ITA, disponível no site Coursera.

Polos de Malha Fechada

 Quando calculamos a Função de transferência de Malha Fechada, ela será uma função com um polinômio no numerador, e um no denominador, como todas as que estávamos vendo até agora, mas esses polinômios vão depender de todos os blocos do diagrama original, que foi simplificado, uma associação da função de transferência da planta, do controlador e assim por diante.

Por essa razão os polos de malha fechada, estarão em locais diferentes dos polos em malha aberta veja o exemplo abaixo, primeiro com a função de malha aberta:

 

Por qualquer critério de estabilidade que analisemos essa função, ela é instável, pela posição dos polos, o polo está no semiplano direito, pelo critério de Hurwitz tem troca de sinal no denominador, mas veja o que acontece quando fechamos a malha com essa função Gma.

 

A função de malha fechada vem diretamente da regra do diagrama de blocos que vimos antes, vamos ver então como desenvolver essa função:

 

Vamos começar por igualar o denominador do termo mais abaixo, faremos isso multiplicando o termo que não é a fração de interesse pelo denominador na fração a qual vamos igualar:

 Agora temos uma fração dividida por outra, então passamos o denominador mais abaixo, multiplicando para cima:

 

Perceba que desenvolvendo o diagrama de blocos, caímos novamente em uma função de transferência, mas perceba que a função de malha fechada é estável enquanto a de malha aberta não é, isso porque ao fechar a malha, os polos se movimentam, o exemplo de cima foi escolhido para mostrar passando de instável para estável, mas controlar um sistema significa manipular seus polos, até que eles garantam o comportamento que desejamos.

 

Fonte:

Aulas de SISC1 no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo,com o professor Alexandre Brincalepe Campo, no período de 11/2020 até 03/2021