Base de um espaço vetorial

 Um espaço vetorial tem a sua representação usual, dada como uma ênupla que é uma série ordenada de números

Nesse caso o subíndice n é determinado pela dimensão do espaço vetorial que se está trabalhando. Mas o que isso conjunto de valores representa? Isso depende de a qual base do espaço vetorial esse vetor se refere, O número na posição da ênupla multiplica o vetor correspondente da base na definição do espaço vetorial, Veja o exemplo do espaço vetorial R2 abaixo:

A base mais comum de ser vista é a base o vetor determinado por V=(4 ,3) multiplicado pela base canônica, X=(1 , 0) e Y=(0 , 1), o vetor estará na posição avançando 4 unidades no eixo x, e 3 unidades no eixo y, mas podemos usar qualquer base, se ela atender aos seguintes fatores:

Mas o que essas coisas significam? Vamos ver isso:

1. Vetores serem LI: ou linearmente independentes, significa que os vetores da base não podem ser escritos como combinação linear uns dos outros, veja os exemplos abaixo

No exemplo à esquerda não existe um número real que multiplicado por um vetor resulte no outro, mas no exemplo à direita se multiplicarmos o primeiro vetor por 2 chegamos no 2 vetor, isso faz eles linearmente dependentes.

Na segunda linha eles gerarem todo o espaço vetorial, significa que eles devem cobrir todo o espaço vetorial, então o número de vetores da base deve ser de acordo com a dimensão do espaço, dois vetores para o R2, 3 para o R3 e assim por diante.

Se essas condições forem atendidas qualquer grupo de vetores pode ser a base de um espaço vetorial, e o vetor deve ter representado na sua ênupla a qual base ele se refere, se não houver indicação utiliza-se a base canônica.

Mudança de base

Um vetor escrito em uma base pode ser convertido para outra base, por meio de uma transformação linear, ou ao ser multiplicado por uma matriz de conversão, chamada de matriz de mudança de base. vamos supor que queremos fazer uma mudança de base no espaço R2, 

Temos a base A com os vetores de base (v1, v2) e a base B com os vetores (c1, c2) para escrever um vetor Ya na base B podemos fazer de duas maneiras, fazendo uma conversão da base A para a base canônica, e depois da base canônica para a base B, ou com uma conversão direta da base A para a base B.

Primeiro: conversão de uma base qualquer para a base canônica:

Nesse caso simplesmente colocamos os vetores da base em que queremos a mudança como colunas de uma matriz:

 

A base A tem os seus vetores de base descritos entre chaves e podemos fazer a conversão da base canônica para a base A por multiplicar um vetor por essa matriz de conversão.

 

 Segundo: conversão direta, entre bases, sem passar pela base canônica

 Esse procedimento diminui o número de passos para realizar várias conversões, mas primeiro devemos achar a matriz que faz essa transformação, para isso encontramos as matrizes que fazem a conversão dessas bases para a base canônica.

 

 Com essas matrizes achamos a matriz de conversão direta, da base B para a base A, como:

Fonte:
Aulas de N2ALN no Instituto Federal de São Paulo, IFSP, no período de 01/19 até 07/19