Autovalores e Autovetores de uma matriz e diagonalização de matrizes

 Uma matriz pode ser usada para representar um transformação linear, quando trabalhamos em algebra linear, um sistema linear, quando trabalhamos com cálculo numérico, ou um sistema real quando trabalhamos com modelagem e teoria de controle.

E nessas situações deveremos multiplicar uma matriz quadrada por um vetor, mas o calculo de matrizes é bastante trabalhoso (veja em Operações com matrizes), então para simplificar a conta realizamos uma diagonalização da matriz vamos ver aqui os passos para isso.

Dada uma matriz quadrada qualquer:

Já sabemos como calcular o produto dessa matriz por um vetor, mas para simplificar a conta podemos encontrar uma matriz diagonal que realize a mesma operação da matriz A.

A matriz Adiag possui apenas os elementos da diagonal principal não nulos, e todos os outros elementos são 0, mas ao multiplicar essa matriz por um vetor, o resultado será o mesmo que se multiplicássemos a matriz A pelo mesmo vetor, mas chegamos nesse resultado de uma maneira muito mais fácil, então como podemos encontrar essa matriz diagonal, primeiro devemos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz.

Autolavores e Autovetores de uma matriz

O autovalor e o autovetor de uma matriz é quando, ao multiplicar uma matriz por um vetor, o vetor resultante será o vetor original, multiplicado por um número real:

Para encontrar esses números relacionados a matriz devemos seguir um procedimento.

Primeiro devemos encontrar os autovalores associados à matriz A, para isso devemos encontrar a expressão de:

A nxn é a matriz original, I é uma matriz identidade que está multiplicando a incógnita alfa, ao realizar essa subtração obteremos alfa sendo subtraído dos elementos da diagonal principal de A, quando tentarmos calcular o determinante, obteremos uma equação de grau igual à dimensão da matriz A, ao igualarmos essa equação obtida à 0 e calcular os valores de alfa que fazem isso ser verdade, encontramos os autovalores associados à matriz.

Depois de encontrar os autovalores podemos encontrar os autovetores, quando procuramos esses vetores nós não encontramos um vetor especifico, mas encontramos toda uma família de vetores. nós substituimos os autovalores que encontramos em alfa em, A-α*I, e multiplicamos essa matriz pelo vetor de coordenadas equivalentes à matriz A, então se A for uma matriz 2x2 será duas coordenadas, se for 3x3 será três coordenadas. essa multiplicação nos dará um sistema, igualamos esse sistema a o e encontramos a familia de autovetores associados, haverá uma família associada à cada autovalor.

A matriz diagonal será a matriz de mesma dimensão que A, mas os elementos da diagonal principal serão os autovalores de A.

Um outro processo que também podemos encontrar a matriz diagonal, é calculando:

Aqui D é a matriz diagonal, A é a matriz que queremos diagonalizar, P é a matriz de mudança de base, da matriz dos autovetores para a base canônica, e P^-1 é a matriz inversa dessa matriz.