Modelagem de sistemas elétricos

 Para modelar esses sistemas, usamos as leis básicas da elétrica, as Leis de Kirchhoff, e aplicamos elas principalmente para componentes de eletrônica discreta, resistores, capacitores e indutores, mas outros componentes eletrônicos também podem ser modelados.

Vamos começar vendo os modelos mais básicos dos componentes discretos:

Resistor

 Esse componente não tem nenhum segredo, ele tem um comportamento instantâneo, e já conhecemos bem de eketrônica

 

Aqui a letra 'e' representa a tensão elétrica, 'i' é a corrente e 'Z' a impedância complexa do componente.

Capacitor

 

Até agora em eletrônica, usamos capacitores pensando somente no comportamento dele ao longo do tempo, mas agora vamos querer perceber o comportamento transitório desses componentes, ao aplicar uma tensão, eles demoram um tempo para carregar e estabilizar, e quando a tensão é retirada, ele demorará um tempo para descarregar e chegar em 0V.

Indutor

 

Com essas informações podemos começar a modelar circuitos simples. Vamos começar com um circuito RC

 

No circuito acima EI é a entrada de tensão, e EO é a saída, queremos então modelar, qual a relação dessas duas grandezas, mas para usarmos uma função de transferência as condições iniciais devem ser nulas, lembra-se? então queremos saber o que ocorrerá com a saída quando, do circuito desenergizado, repentinamente aplicamos uma tensão, como essa saída se comporta? 

Primeiro vamos escrever as relações:

 

A tensão de saída é a tensão sobre o capacitor, e assumimos que a corrente do circuito é a corrente que passa pelo capacitor, a saída externa não tem passagem de corrente, com isso substituímos a equação 2 na 1, para obter a EDO e depois seguimos os mesmos passos de antes para encontrar a função de transferência:

Mas o que essa função significa? Se acionarmos um interruptor em Ei para energizar o sistema, a resposta dele será algo com o seguinte formato:

 

Esse é o comportamento de uma função de primeira ordem, mas vou explicar mais sobre elas em um próximo artigo.

 

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.

Modelagem de sistemas mecânicos

 Sistemas mecânicos são regidos pelas Leis de Newton, nesse sistemas desejamos relacionar a força com a posição de um corpo, então devemos ter em mente que a posição é a grandeza básica, a velocidade é a derivada da posição, a aceleração é a derivada da velocidade, nesses sistemas consideramos massas, molas e amortecedores, vamos começar vendo sistemas mecânicos que irão responder à tração:

 a) Massas

 

Essa modelagem vem diretamente da 2 Lei de Newton, a força sobre um corpo é igual à massa vezes a aceleração, a segunda derivada da posição.

b) Molas

 

Aqui a letra X indica a posição das extremidades da mola, K é a constante elástica dela, que já vimos em Força Elástica, e F é a força que a mola irá exercer em suas extremidades.

Uma mola real possui uma região de atuação, se for aplicada uma força muito grande sobre ela, ela não será capaz de voltar a realizar sua função, mas essa consideração não é levada em conta durante a modelagem, ignoramos ela durante a etapa de simplificações.

c) Amortecedores

 

Diferentes de molas que respondem à mudança da posição das extremidades, um amortecedor reage à taxa de variação, ou a diferença de velocidade das extremidades, como vemos na fórmula consideramos X'n a derivada da posição, ou seja velocidade, e B é a constante do amortecedor.

 

E não apenas para sistemas que funcionam em linha reta, mas sistemas girantes também, nesses casos ao invés da variação linear, que acima era denominada Xn eles terão em suas formulas a variação angular, denominada por Θn.

Nesses sistemas a massa irá ser a grandeza de segunda ordem, o amortecedor irá determinar o coeficiente de primeira ordem, e a mola determina o termo independente. Veja abaixo um exemplo desse tipo de modelagem:

 

 Aqui temos um sistema massa-mola-amortecedor, semelhante aos que existem na suspensão de automóveis, nesse sistema o deslocamento da massa é a entrada, e a força gerada é a saída, nesse desenho as hachuras do lado esquerdo significam que aquele ponto é fixo, então a movimentação ocorrerá somente para a massa à direita, vamos ver então como modelar, no inicio é bom escrever as fórmulas dos componentes usados e a lei utilizada também:

 

Com isso basta montarmos a equação, lembrando que a aceleração é a segunda derivada da posição, então teremos:

Essa é a representação matemática do sistema na forma de uma equação diferencial, porém como falei na introdução essas equações são bastante difíceis de trabalhar, e para implementa-las em um controle, então aplicamos a transformada de laplace nela, para mudar para o domínio da frequência: 

 

Agora é só operar algebricamente  com essa fórmula, vamos então separar as funções, colocar os termos em evidência e montar a função de transferência:

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.

 

DIagrama de blocos

 Antes de traduzir uma montagem como uma equação matemática, devemos entender como representá-las graficamente, para entender a montagem, apenas com um desenho, para isso usamos uma representação com blocos, um sinal de entrada que passa por uma montagem, e possui uma saída é representada da seguinte maneira:

 

Nessa representação no domínio da frequência, R(s) e C(s) são os sinais de entrada e saída respectivamente, G(s) é o sistema, também chamado de planta, e as setas indicam o fluxo dos sinais, um sinal que entra em um sistema é multiplicado por ele, então a relação de sinais acima é descrita como:

 

Uma montagem com esse formato, em que a entrada passa por um sistema e não existe nenhum tipo de observação do resultado é chamado de sistema em malha aberta, um sistema desse é como colocar comida para esquentar no micro-ondas,  coloca-se o sinal de entrada, no caso do micro-ondas o tempo, e ele vai atuar sobre o prato dentro, mas ele não observa a temperatura de dentro, então esse é o exemplo de um sistema de malha aberta.

Outros sistemas podem observar o que está acontecendo na saida para observar o seu funcionamento da seguinte maneira:

 

Esse é um sistema realimentado, ou de malha fechada.

Nesse esquema o sinal de saída é enviado de volta a entrada e entra em um somador, o circulo com um X e sinais de adição e subtração, então ele segue a relação indicada pelos sinais para gerar um sinal e(s) que é o erro do sistema, esse erro será processado pela planta e então a saida irá retornar novamente para a entrada, H(s) é a dinâmica da realimentação, o sensor utilizado pode ter um funcionamento que interfira na planta, mas se não houver esse bloco H representado assumimos uma realimentação unitária em que H(s)=1, a representação matemática do sistema de malha fechada é:

 

Mas uma coisa que pode confundir, se no diagrama de blocos a realimentação no somador é negativa, porque na expressão aparece +1? Esse sinal realmente é invertido, se a realimentação é negativa o denominador será a planta multiplicada por H e somado com +1, mas se a realimentação for positiva será subtraído -1.

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.

Estabilidade

 Estabilidade é uma característica dos sistemas que nos diz se eles podem ser controlados ou não, o primeiro critério que deve-se conhecer é  a estabilidade BIBO.

BIBO estabilidade

A sigla BIBO significa, Bounded Input Bounded Output, entrada limitada, saída limitada, isso significa que se o sistema receber uma entrada que estabiliza em certo ponto, a saída também irá estabilizar em  um valor especifico, e como saber se um sistema é BIBO estável, sabemos isso olhando a posição dos polos e zeros no plano complexo, ou chamado também de plano S, veja como é a representação desse plano Aqui,

Nesse plano complexo representamos os zeros por círculos e os polos por X, abaixo um exemplo:

 

O sistema é BIBO estável se todos os polos estiverem no semiplano esquerdo aberto, ou seja todos os polos possuírem parte real menor do que 0, se houverem polos em cima do eixo complexo, com parte real igual a 0, o sistema é marginalmente estável, e se houverem polos com parte real maior do que 0, no semiplano direito, o sistema é BIBO instável, para uma entrada limitada, a saída não estabiliza, ela diverge em direção ao infinito.

 

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.

 

Funções de Transferência

 Sempre que estudamos o controle de sistemas, principalmente o controle clássico, veremos sistemas sendo representados como uma expressão:

 

Essa representação é chamada de função de transferência, depois de aplicarmos a transformada de Laplace na equação diferencial, colocamos em evidência os termos de entrada e saída e colocamos da seguinte maneira:

 

Essa equação possui uma resposta para uma entrada que será a mesma resposta do sistema, quando as condições iniciais forem nulas, porém funções de transferência só podem ser usadas em sistemas SISO, Contínuos, Lineares e Invariantes no tempo, essas funções são as usadas na teoria de controle clássico e são a forma de controle mais comum que temos.

 E sobre as funções de transferência, as raízes do polinômio do numerador são chamados de zeros da função, e as raízes do denominador são chamados de polos da função de transferência. O grau do denominador também é usado para determinar o grau da função de transferência, então se no denominador existir uma função de primeiro grau, a função é chamada de primeira ordem, se o denominador for uma equação de segundo grau, a função é de segunda ordem, e assim por diante.

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.