Modelagem de sistemas mecânicos

 Sistemas mecânicos são regidos pelas Leis de Newton, nesse sistemas desejamos relacionar a força com a posição de um corpo, então devemos ter em mente que a posição é a grandeza básica, a velocidade é a derivada da posição, a aceleração é a derivada da velocidade, nesses sistemas consideramos massas, molas e amortecedores, vamos começar vendo sistemas mecânicos que irão responder à tração:

 a) Massas

 

Essa modelagem vem diretamente da 2 Lei de Newton, a força sobre um corpo é igual à massa vezes a aceleração, a segunda derivada da posição.

b) Molas

 

Aqui a letra X indica a posição das extremidades da mola, K é a constante elástica dela, que já vimos em Força Elástica, e F é a força que a mola irá exercer em suas extremidades.

Uma mola real possui uma região de atuação, se for aplicada uma força muito grande sobre ela, ela não será capaz de voltar a realizar sua função, mas essa consideração não é levada em conta durante a modelagem, ignoramos ela durante a etapa de simplificações.

c) Amortecedores

 

Diferentes de molas que respondem à mudança da posição das extremidades, um amortecedor reage à taxa de variação, ou a diferença de velocidade das extremidades, como vemos na fórmula consideramos X'n a derivada da posição, ou seja velocidade, e B é a constante do amortecedor.

 

E não apenas para sistemas que funcionam em linha reta, mas sistemas girantes também, nesses casos ao invés da variação linear, que acima era denominada Xn eles terão em suas formulas a variação angular, denominada por Θn.

Nesses sistemas a massa irá ser a grandeza de segunda ordem, o amortecedor irá determinar o coeficiente de primeira ordem, e a mola determina o termo independente. Veja abaixo um exemplo desse tipo de modelagem:

 

 Aqui temos um sistema massa-mola-amortecedor, semelhante aos que existem na suspensão de automóveis, nesse sistema o deslocamento da massa é a entrada, e a força gerada é a saída, nesse desenho as hachuras do lado esquerdo significam que aquele ponto é fixo, então a movimentação ocorrerá somente para a massa à direita, vamos ver então como modelar, no inicio é bom escrever as fórmulas dos componentes usados e a lei utilizada também:

 

Com isso basta montarmos a equação, lembrando que a aceleração é a segunda derivada da posição, então teremos:

Essa é a representação matemática do sistema na forma de uma equação diferencial, porém como falei na introdução essas equações são bastante difíceis de trabalhar, e para implementa-las em um controle, então aplicamos a transformada de laplace nela, para mudar para o domínio da frequência: 

 

Agora é só operar algebricamente  com essa fórmula, vamos então separar as funções, colocar os termos em evidência e montar a função de transferência:

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.