Modelagem de sistemas -- Introdução

Antes de vermos sobre modelagem deveremos entender o que é um sistema, um sistema é uma montagem de interesse, pode ser uma montagem mecânica, elétrica, térmica ou fluídica, que realiza um trabalho de interesse, em razão de uma entrada que podemos manipular.

Para conseguir controlar um sistema, pode ser a temperatura de algo, ou a posição de um robô, queremos  impôr um comportamento desejado em algo cujo comportamento normal, pode ser diferente do que queremos, mas antes de controlar alguma coisa, devemos saber fazer o modelamento daquele sistema de interesse, por traduzir o comportamento dele como uma equação que considere a taxa de variação do sistema, ou seja uma equação diferencial, a partir dessa equação podemos ter abordagens diferentes do problema, mas para isso devemos seguir alguns passos:

1. Escolher que característica nos interessa no sistema:

Modelar um sistema real, de maneira a englobar todas as características dele em uma única fórmula seria algo extremamente trabalhoso, e seria quase impossível manipular tal fórmula, de modo a atuarmos apenas sobre um ponto de interesse nele, então primeiro devemos decidir que tipo de modelamento queremos, se nos interessamos em saber a temperatura, o nível de líquido em um tanque?

2.Simplificar o problema

Um sistema real depende de muitos fatores e há muitas coisas acontecendo simultaneamente, o que pode torná-los muito complexos para modelar, então podemos fazer pequenas hipóteses para facilitar o raciocínio, por exemplo em um sistema mecânico podemos ignorar o atrito entre as peças, em um sistema térmico ignoramos a perda de calor para o ambiente, em um sistema fluídico ignoramos possíveis vazamentos, mas essas hipóteses devem ser bem consideradas, e elas afastam o sistema modelado do comportamento real, então essas simplificações devem ser feitas com cautela, poucas simplificações e o sistema irá ser fiel à realidade, mas difícil de modelar, muitas simplificações tornaram ele mais simples, mas elas podem se afastar demais do resultado real.

3. Aplicação de leis físicas para montar a equação diferencial do sistema:

Cada tipo de sistema, térmico, mecânico, fluídico tem uma uma lei física diferente que o rege, veja a relação dessas leis abaixo.

•  Sistema mecânico.  - utilizamos as Leis de Newton
• Sistema elétrico - Leis de Kirchhoff
• Sistema térmico - Lei da conservação de energia
• Sistema fluídico - Lei da conservação de massa

4.Mudança de domínio 

Trabalhar com uma equação diferencial, no domínio do tempo, é muito complexo, então para tornar a equação mais simples de trabalhar usamos a transformada de Laplace para trocar o domínio, do tempo para o domínio da frequência.

Nesse esquema o L cursivo maiúsculo representa a transformada de Laplace, L elevado a -1 é a transformada de Laplace inversa, o mesmo para o F cursivo maiúsculo, que representa a transformada de Fourrier, se elevado a -1 é a transformada inversa de Fourrier 

Quando aplicamos a Transformada de Laplace as derivadas se tornam s elevado ao grau da derivada, da seguinte maneira:

Isso torna a equação muito mais fácil para trabalhar, sem perder nenhuma de suas características, nesse exemplo as funções são coeficientes multiplicando as derivadas, mas para funções mais complexas usaremos uma tabela de Tramsformadas de Laplace, pode-se encontrar essas tabelas facilmente na internet.

5.Montar a relação entre variáveis

Depois de ter a função do domínio frequência basta colocar ela no formato que desejamos, se estivermos usando controle clássico, vamos querer uma função de transferência, que é uma razão de polinômios da saída e da entrada, veremos mais sobre isso em um próximo artigo, e se estivermos usando controle moderno, usaremos a representação com espaço de estados, que é uma representação matricial, ela é complexa de trabalhar, mas muito poderosa para controle.

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.