Lugar Geométrico das Raizes

 Vimos anteriormente que os polos de um sistema mudam de lugar, quando de malha aberta, fechamos a malha de controle, vimos isso aqui, e também vimos como o Controle Proporcional, pode colocar uma certa flexibilidade no sistema, se o ganho K for variável, então se a função de transferência irá mudar, quando modificarmos o valor de K, como saberemos controla-la?

Essa é a função da ferramenta do lugar geométrico das raízes, ou LGR, ela nos dá uma projeção do plano S, com todas as possíveis posições dos polos de malha fechada, quando variamos o ganho proporcional.

Como será o tipo de lugar das raízes de um sistema depende, além da ordem dele, em qual categoria ele se encontra, veja os exemplos abaixo:

Para sistemas de 1° ordem

Você provavelmente já deve ter deduzido isso depois do que vimos em controle proporcional, mas o lugar das raízes desse sistema é visto abaixo:

 

Ele inicia onde está o polo de malha fechada, quando K=1, e conforme aumenta, vai em direção a menos infinito, esses sistemas serão sempre estáveis para qualquer ganho positivo.

 

Sistema de 2° ordem - subamortecido

 

Nesse sistemas existem um par de polos complexos conjugados, conforme o ganho aumenta, a parte imaginária deles aumenta de maneira paralela ao eixo imaginário.

Sistema de 2° ordem - superamortecido

 

Esses polos iniciam como reais distintos quando K=1, mas ao aumentar o valor do ganho, eles se tornam reais iguais, e depois complexos conjugados, ou seja mesmo uma planta superamortecida, se aplicada um ganho muito alto, terá o comportamento de uma planta subamortecida, mas não se tornará instável.

Sistema de 3° ordem 

Os polos desse tipo de sistema possuem um comportamento mais complicado, uma mistura dos de 1° ordem e 2°, a partir das posições originais, um dos polos irá em direção ao menos infinito, enquanto os outros polos se encontram e se tornam complexos conjugados, mas ai vem uma diferença muito importante para prestar atenção, eles não se afastam paralelos ao eixo imaginário, eles vão em direção ao eixo vertical, e para certo valor de ganho, cruzam para o semiplano direito, tornando o sistema instável.

Esses exemplos são apenas para demonstrar o que é o Lugar das Raízes, mas você não vai calcular o LGR de um sistema de maior ordem manualmente, para isso devemos usar ferramentas computacionais.

Se os polos que satisfazem os requisitos de projeto, estiverem sobre o Lugar Geométrico do sistema, um controlador proporcional basta para o controle, mas se eles não estiverem, será necessário um controlador mais sofisticado.

Fonte:

Aulas de SISC1 no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo,com o professor Alexandre Brincalepe Campo, no período de 11/2020 até 03/2021