Derivadas direcionais, e o vetor gradiente

 Em funções de uma variável é simples ver ao que a derivada se refere, a inclinação da reta tangente ao gráfico, naquele ponto calculado. Como por exemplo:

 Nesse gráfico está representada a função:

 

com a derivada:

 

Quando usamos essa derivada para traçar uma tangente em x=2, teremos algo com a seguinte aparência:

 

Aqui fica bem intuitivo ver que a função cresce, com o aumento de x, e diminui, na direção contrária.

Mas em funções de várias variáveis isso pode ser um pouco mais difícil de se visualizar, porém a derivada parcial também nos dará a inclinação de um vetor tangente.

 

Derivadas direcionais

em funções de várias variáveis representadas em um plano, as derivadas parciais continuarão a dar a inclinação da tangente em um ponto especifico, mas dessa vez vamos associar essa inclinação à um vetor de norma, ou módulo = 1, assim saberemos a taxa de crescimento, ou decrescimento do plano naquela direção, como exemplificado a seguir: 

 

Aqui o vetor representado tangencia o plano com o sentido de maior crescimento local, nesses casos vamos representar o vetor contendo as duas derivadas parciais e versores para indicar a direção, porque estamos estudando ele no espaço e não mais no plano,

Então a derivada direcional desse plano será escrita como:

 

Gradiente

Esse será um vetor que indicará a região de maior crescimento, ou decrescimento local de uma função, ele indicará na direção em que o gráfico terá seu maior crescimento e é representado por:

Fonte:

Aulas de CALC2 no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo, no  período de 02/2020 até 10/2020