Análise de Sistemas de 1° Ordem

 Depois da modelagem matemática de um sistema, uma das formas de classifica-lo é através do grau do polinômio do denominador, sistemas de 1° Ordem então, são aqueles que possuem uma ex´ressão que determine uma reta em seu denominador, mas como sabemos qual será o seu comportamento? Veja abaixo o gráfico que demonstra o comportamento no domínio do tempo, de uma função dessas:

 

Toda a função de 1° Ordem ESTÁVEL, ao receber um degrau de entrada, irá levar um tempo para alcançar o seu valor de regime também chamado de espaço estacionário, esse resposta depende de uma constante de tempo, determinada na função de transferência, que pode ter a forma:

 

A constante de tempo é o tempo necessário para o sistema atingir 63,2% do seu valor final, e com um tempo de 4 vezes essa constante o sistema está em uma faixa de cerca de 2% do seu valor final, a constante é calculada como: 

 

Conhecendo essa relação somos capazes de dizer qual será o comportamento do sistema, apenas olhando para sua representação matemática, ou podemos dizer qual a sua função de transferência apenas olhando para uma representação gráfica da sua resposta no tempo.

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.

 

 

Teorema do valor final

 Já vimos quando estudamos estabilidade, o conceito da BIBO estabilidade, entrada limitada saída limitada (bounded input bounded output) isso significa, se a entrada do sistema estiver restrita a um valor, a saída também será restrita à outro valor, mas qual valor será esse? Como saber qual será a saída do sistema depois de passado muito tempo de sua ativação?

Quando mudamos a entrada de um sistema ou então ele sofre uma perturbação, dizemos que ele passa por uma resposta transitória, até chegar em um valor de regime, em que ele permanecerá em operação, o teorema a seguir nos mostrará o comportamento em regime do sistema.

Uma entrada muito comum quando estudamos sistemas dinâmicos é a entrada de degrau unitário, ela é 0 para valores menores do que um certo valor, e 1 para valores maiores. 

 

Esse sinal de entrada é usado como referência quando falamos da análise de sistemas. Ele também respeita a entrada limitada, então como será a saída? O teorema do valor final diz que para conhecer o valor da função no tempo, quando o tempo tender a infinito, devemos fazer um limite do domínio de laplace, com a variável s tendendo a 0.

O símbolo de igual com um triangulo em cima, significa que algo é igual por definição a outra coisa, usamos isso para dizer que um valor calculado no domínio de laplace, também irá aparecer no domínio do tempo.  

E com esse valor podemos também calcular o erro do sistema em espaço estácionário com uma simples subtração:

Essa ferramenta é muito útil quando estamos querendo perceber a atuação em regime do sistema, ao longo do tempo, sem perturbações.

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.

Modelagem de sistemas térmicos

 Como último exemplo de sistema a ser modelado, vamos ver sobre os sistemas térmicos, neles queremos descrever a relação entre uma temperatura e uma entrada de energia, sistemas desse tipo são ilustrados da seguinte maneira:

Nesse desenho a parte hachurara representa um isolante térmico perfeito, que não permite a condução de calor entre os dois lados, mas isso é só uma suposição, na prática não existe um material que bloqueie completamente a passagem de calor. A seta com a indicação q representa o fluxo de energia térmica de um corpo mais quente para um mais frio:

 

O corpo com a indicação Rt representa uma resistência térmica, que irá consumir parte do fluxo que passa pelo corpo, e o corpo Ct é uma capacitância térmica, da mesma forma das outras capacitâncias que vimos nos outros tipos de sistemas, ela vai acumular calor a partir do fluxo q, na prática todos os corpos atuam simultaneamente como resistências e capacitâncias térmicas, se uma panela está com comida no fogão, a fonte de calor é a chama e queremos esquentar a comida dentro, então a panela é apenas uma resistência térmica, mas depois de retirarmos do fogo, e tirarmos a comida pronta de dentro, a panela continua quente por um tempo, isso porque ela está se comportando como uma capacitância, no mundo real os corpos se comportam com essas duas atuações, mas para modelar isso tornaria o sistema muito complexo, então assumimos que um corpo pode ser apenas um resistor, ou apenas um capacitor, se desejamos saber qual a temperatura naquele corpo, ou se ele acumular energia o suficiente para atuar como uma fonte de fluxo, caso q seja interrompido, devemos considera-lo como uma capacitância, mas se não precisamos saber a temperatura dele, e ele armazena uma quantidade desprezível de calor então podemos considera-lo como uma resistência.

Então vamos ver sobre a lei que rege sobre esses sistemas, a lei do balanço de energia, essa lei diz que:

 

Energia térmica não pode surgir do nada, ou desaparecer, como podemos ver acima, para existir calor em algo, essa coisa deve receber o calor de uma fonte, ou então converter outro tipo de energia em calor, podemos perceber isso com resistores, quando submetidos à tensão elétrica, eles esquentam.

Agora veja quais as relações seguiremos para cada um dos comportamentos, que vimos, resistência e capacitância:

1) Resistência

A resistência térmica é a capacidade de um corpo a se opor à passagem do fluxo de calor, ele fará isso por consumir parte do fluxo que passa por ele:

 

 

Essa fórmula nos diz qual será a queda de calor sobre a resistência térmica,

Quando consideramos troca de calor por condução, quando os corpos estão em contato, calculamos a resistência com a seguinte fórmula:

2) Capacitância

Isso significa o quanto o corpo pode armazenar energia térmica nele

 

E a capacitância térmica é calculada como o produto da massa pelo calor específico do material.

 

 

Agora vamos ver um exemplo dessa modelagem, com o mesmo esquema que vimos acima:

 

Considerando que a temperatura em Ta é maior que em Tb, queremos conhecer a relação entre elas, para isso usaremos as seguintes relações:

Essas relações são apenas os conhecimentos descritos acima, aplicados no sistema apresentado.

Se substituirmos a equação 1 na  equação 2 teremos:

 

 Agora é só montar a função de transferência:

 

Em todos esses tipo de sistemas que vimos, perceba que a modelagem matemática deles é idêntica, nós seguimos os mesmos passos, mas sistemas mais complexos possuem funções de ordem maior, e mais trabalhosas para se obter, mas depois de conseguir a função de transferência, sistemas de qualquer tipo serão semelhantes.

Fonte:

Aulas de T5MOD no Instituto Federal de São Paulo, Câmpus São Paulo, no período de julho/2019 até dezembro/2019.