Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem

Essas são equações na forma:

 

Sendo que os termos A, B, C e D são constantes cujo valor não depende de y(t).

Uma EDO de segunda ordem homogênea tem a forma:

Eq.I

Essas são as equações mais usadas para se descrever problemas mecânicos.

Propriedades das EDO's 

  1. Supondo que g(x) seja uma solução da equação I.

 

Então g multiplicado por uma constante (g*cte), também será solução ? 

 

Colocando cte em evidência:

 

Da equação I sabemos que o termo entre parênteses é igual a 0, como 0 multiplicado por qualquer coisa é igual a 0 então cte*g também é solução da Equação I.

2.Supondo que h(x) também é solução de I, então (g(x)+h(x)) é solução de I?

 

Aplicando a propriedade distributiva:

 

Agrupando então os termos com g(x) e os termos com h(x):

 

Das suposições que havíamos feito sabemos que ambos os termos que estão entre parênteses são iguais a 0, então o teorema da sobreposição é válido. 

Resolvendo:

Eq. 1

Nessa situação também usaremos a função e^r*t  devido às mesmas considerações que fizemos para resolver EDO's de primeira ordem.

 

Substituindo os valores de y em 1

 

Colocando e^r*t em evidência:

 

Os termos entre parênteses são chamados de equação característica da EDO, achando as raízes dessa equação a função y escolhida será solução:

 

Com isso sabemos que para r=-2 e r=-3 a equação será solução. Usando o teorema da sobreposição:

 

Essa é a solução geral de 1.

Para saber a solução particular é necessário saber as condições iniciais, conhecendo essas condições y(0)=2 e y'(0)=3:

 

Com isso teremos um sistema linear de:

 

Escalonando esse sistema com 2*L1+L2→ L2:

 

Com isso podemos dizer que C2 = -7 e C1=9.

Então a solução particular de 1 com as condições iniciais fornecidas será:

 

Equações Diferenciais

Seja y uma função de x, uma equação diferencial é uma equação que envolva y e suas derivadas y´, y´´...... Essa equação diferencial será de ordem n, sendo n o grau da derivada mais alta, então se uma equação possui apenas a primeira derivada ela é de primeira ordem, se possui a primeira e a segunda derivadas é de segunda ordem, e assim por diante.

Classificação das equações diferenciais:

 Equação Diferencial Ordinária (EDO's): envolvem funções de uma única variável.
Equações Diferenciais Parciais (EDP's): envolve as derivadas parciais de uma função de várias variáveis. 

Resolução de Equações Diferenciais 

EDO's de primeira ordem:
Seja uma equação na forma:

   Eq. I

sendo A e B constantes, f(t) uma função conhecida e x(t) a incógnita.

Usaremos o principio da sobreposição,que significa somar duas soluções para encontrar outra.

Provando que o teorema da sobreposição é válido:

Suponha que xp seja solução da Eq. I.

  Eq. i

E suponha que xh seja a solução homogênea. (=0)

  Eq. ii

Com isso o teorema da sobreposição diz que a soma x=(xp+xh) também é solução de I.

Provando o teorema da sobreposição 

Assumindo a equação I:

 

Podemos aplicar o teorema da sobreposição com as equações i e ii para encontrar outra solução?

 

Essa equação é verdadeira?

Vamos primeiro aplica a distributiva nos termos:

 

Então reorganizamos os termos para a seguinte forma:

 

Note que essa equação é a mesma coisa que a soma das equações i e ii, então:

 

Com isso o teorema da sobreposição é válido para a resolução de Equações diferenciais.

Vamos então resolver a EDO:

 

Para essa equação ser calculada as funções x(t) e x'(t) devem ter a mesma forma, sabemos do cálculo de derivadas que a única função que mantém a forma quando derivada é:

 

Primeiro aplicaremos a solução homogênea:

 

O segundo passo vamos dar um palpite para xp(t), e ver onde a álgebra nos leva: para esse exercício vamos dizer que xp(t) é uma constante real:

 

Então a equação ficará:

 

Com xp = A, mas a derivada de uma constante é zero, então teremos:

 

Por meio de operações algébricas podemos dizer:

 

Com esses dois resultados aplicaremos o teorema da sobreposição para obter a solução geral da equação:

 Essa será a solução geral da equação dada em I, para obter a solução particular necessitariamos possuir as condições iniciais, isso será abordado no próximo artigo.

Sistemas de coordenadas -- Coordenadas Cilíndricas

As coordenadas cilíndricas são um aprimoramento das coordenadas polares para se trabalhar em três dimensões, então podemos dizer que as coordenadas cilíndricas estão para as coordenadas polares, assim como o R3 está para o R2.
O sistema de coordenadas cilíndricas é expresso pela tripla ordenada ( r, Θ, z), onde (r, Θ) é a coordenada polar da projeção do ponto em estudo sobre o plano xy e z é a distancia do ponto até o plano xy. Então um ponto em coordenadas cartesianas de R3 pode ser escrito em coordenadas cilíndricas através do seguinte procedimento:

Conversão coordenadas cartesianas R3 → Coordenadas cilíndricas

Seja dado o ponto P que em coordenadas retangulares e dado pela tripla ordenada (x, y, z) a representação desse ponto em coordenadas cilíndricas seria feita de modo:

 

Conversão  coordenadas cilíndricas → Coordenadas retangulares R3

Seja dado um ponto Q pela tripla ordenada (r, Θ, z) a conversão desse ponto para o espaço R3 é feito da seguinte maneira: 

 

 As coordenadas cilíndricas são muito úteis em problemas que envolvam simetria ao redor de um eixo no espaço, como em casos de sólidos de revolução, e o eixo z usualmente é escolhido para coincidir com o eixo de simetria.

Sistemas de coordenadas -- Coordenadas Polares

O sistema de coordenadas polares é essencialmente diferente das coordenada cartesianas, nele escolhemos um ponto O chamado de polo ou origem, e desenhamos a partir desse polo uma semi-reta que será chamado de eixo polar, esse eixo é usualmente horizontal para a direita, mas pode ser definido da maneira que for mais conveniente, então com o polo e o eixo polar definidos, um ponto qualquer pode ser localizado em razão de seu ângulo em relação ao eixo polar e a distância que ele está do polo, o ângulo é medido a partir do eixo polar no sentido anti-horário então um ponto em coordenadas polares será representado da seguinte maneira:

Nesse sistema o ângulo teta tem a unidade radianos, então não se esqueça de converter as angulações de graus caso necessário.

Nesse sistema um ponto que era localizado no plano cartesiano pelas coordenadas P=(3, 4) será representado em coordenadas polares  P=(5 , 0,295π radianos). Se o polo considerado estiver sobre a origem do plano cartesiano e o eixo cartesiano estiver sobre o eixo x.

Conversão Cartesiano → Polar

Para converter pontos do sistema cartesiano para o sistema polar deveremos escrever o ponto P=(x,y) como P = (r , Θ), essa conversão pode ser escrita da seguinte forma:

 

Conversão Polar→ Cartesiano

Nessa conversão o ponto S = (r, Θ) deverá ser escrito como S=(x,y), isso será feito da seguinte maneira: