Efeitos da adição de polos e zeros ao sistema

 Caso o LGR de um sistema não atenda às especificações de projeto, ainda podemos trabalhar para que de alguma maneira o sistema possa ser controlado como desejamos, fazemos isso por adicionar um controlador que irá modificar o lugar geométrico das raízes da planta.

 

Colocando o controlador, Gc, antes da função de transferência da planta, Gp, ele que possui polos, zeros e uma dinâmica própria, vai passar para a planta um sinal de controle U(s), e essa associação de blocos pode ser usada para atingir o comportamento desejado na saida Y(s).

Mas como projetar esse controlador Gc? Se ele possui polos e zeros, como devemos escolher esses valores?

O zero torna a resposta mais rápida e menos amortecida, enquanto o polo a torna mais lenta e mais amortecida, isso significa que se desejamos acelerar o sistema vamos simplesmente adicionar zeros a ele?

Não, se o grau do numerador for maior que o grau do denominador, cairemos em um sistema não causal, que reage a entradas futuras, obviamente um sistema desses não é fisicamente realizável, então  devemos adicionar o mesmo número de polos e zeros, ou mais polos do que zeros.

E qual deles vai determinar a dinâmica do controlador? Novamente chegamos na dominância que vimos para polos em Requisitos de Projeto o elemento mais próximo do eixo imaginário, vai dominar a dinâmica do controlador, 

Se o polo estiver mais próximo da origem do que o zero, o LGR será deslocado para a direita, e se o zero estiver mais próximo da origem o LGR é deslocado para a esquerda.

Com essas mudanças no Lugar Geométrico do sistema, basta colocar um ganho junto a esse controlador e poderemos aproximar o nosso controle da resposta que desejamos.

Fonte:

Aulas de SISC1 no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo,com o professor Alexandre Brincalepe Campo, no período de 11/2020 até 03/2021

Lugar Geométrico das Raizes

 Vimos anteriormente que os polos de um sistema mudam de lugar, quando de malha aberta, fechamos a malha de controle, vimos isso aqui, e também vimos como o Controle Proporcional, pode colocar uma certa flexibilidade no sistema, se o ganho K for variável, então se a função de transferência irá mudar, quando modificarmos o valor de K, como saberemos controla-la?

Essa é a função da ferramenta do lugar geométrico das raízes, ou LGR, ela nos dá uma projeção do plano S, com todas as possíveis posições dos polos de malha fechada, quando variamos o ganho proporcional.

Como será o tipo de lugar das raízes de um sistema depende, além da ordem dele, em qual categoria ele se encontra, veja os exemplos abaixo:

Para sistemas de 1° ordem

Você provavelmente já deve ter deduzido isso depois do que vimos em controle proporcional, mas o lugar das raízes desse sistema é visto abaixo:

 

Ele inicia onde está o polo de malha fechada, quando K=1, e conforme aumenta, vai em direção a menos infinito, esses sistemas serão sempre estáveis para qualquer ganho positivo.

 

Sistema de 2° ordem - subamortecido

 

Nesse sistemas existem um par de polos complexos conjugados, conforme o ganho aumenta, a parte imaginária deles aumenta de maneira paralela ao eixo imaginário.

Sistema de 2° ordem - superamortecido

 

Esses polos iniciam como reais distintos quando K=1, mas ao aumentar o valor do ganho, eles se tornam reais iguais, e depois complexos conjugados, ou seja mesmo uma planta superamortecida, se aplicada um ganho muito alto, terá o comportamento de uma planta subamortecida, mas não se tornará instável.

Sistema de 3° ordem 

Os polos desse tipo de sistema possuem um comportamento mais complicado, uma mistura dos de 1° ordem e 2°, a partir das posições originais, um dos polos irá em direção ao menos infinito, enquanto os outros polos se encontram e se tornam complexos conjugados, mas ai vem uma diferença muito importante para prestar atenção, eles não se afastam paralelos ao eixo imaginário, eles vão em direção ao eixo vertical, e para certo valor de ganho, cruzam para o semiplano direito, tornando o sistema instável.

Esses exemplos são apenas para demonstrar o que é o Lugar das Raízes, mas você não vai calcular o LGR de um sistema de maior ordem manualmente, para isso devemos usar ferramentas computacionais.

Se os polos que satisfazem os requisitos de projeto, estiverem sobre o Lugar Geométrico do sistema, um controlador proporcional basta para o controle, mas se eles não estiverem, será necessário um controlador mais sofisticado.

Fonte:

Aulas de SISC1 no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo,com o professor Alexandre Brincalepe Campo, no período de 11/2020 até 03/2021

Plano S e requisitos de projeto

 Já vimos, quando estudamos a Análise de sistemas de 2 ordem, que o plano S não é usado apenas para verificar a estabilidade do sistema, ele nos mostra também o tipo de resposta que o sistema terá, e agora veremos como podemos usar requisitos de projeto, para determinar a posição ideal dos polos para o sistema.

Primeiro: para sistemas de 1 ordem, que possuem apenas 1 polo, a distância desse polo até o eixo imaginário vai determinar a velocidade do sistema:

Nesses tipos de sistemas, polos mais afastados do  eixo imaginário significam respostas mais rápidas, enquanto sistemas próximos do eixo imaginário são sistemas lentos.

E agora para sistemas de 2° ordem, que vimos que podem possuir sobressinal, além da velocidade de resposta, vamos ver então como determinar qual o polo desejado.

 Em aplicações de sistemas de ordens altas, teremos um requisito que nos diz o quanto a resposta pode ultrapassar o valor de regime inicialmente, e em Análise de sistemas de 2° ordem vimos como calcular essa ultrapassagem a partir de um coeficiente de amortecimento, obtido da função de transferência, aqui faremos o contrário, a partir de um requisito de sobressinal calcularemos qual o coeficiente é necessário para isso.

 

Essa era a formula mais trabalhosa algebricamente, mas depois de encontrar o coeficiente de amortecimento, lembre-se que ele é o cosseno do ângulo beta, que faz com o eixo real, depois só precisamos do valor da frequência natural não amortecida, wn, e já conseguimos encontrar o polo necessário

 

Retorne à análise de sisremas de 2 ordem para verificar todas as relações.

Mas e sistemas de maior ordem o que devemos fazer?

Existe uma propriedade chamada dominância de polos, onde polos que estejam muito distantes da origem podem ser ignorados, e um sistema de maior ordem pode ser analisado como sendo de 1 ou 2 ordem, mas o quão longe eles devem estar? normalmente se houver um polo 10 vezes mais perto da origem, ele se sobressai o suficiente para dominar a resposta. O sistema é mais afetado pelo seu polo mais lento.

Fonte:

Aulas de SISC1 no Instituto Federal de São Paulo, campûs São Paulo,com o professor Alexandre Brincalepe Campo, no período de 11/2020 até 03/2021